微分積分例

$\frac{1}{2} \cdot (x e^{\frac{- 1}{2} x})$

ステップ 1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot (x e^{- \frac{1}{2} x})]$

ステップ 1.2

分数をまとめます。

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ステップ 1.2.1

$x$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot (x e^{- \frac{x}{2}})]$

ステップ 1.2.2

$x$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2} \cdot e^{- \frac{x}{2}}]$

ステップ 1.2.3

$\frac{x}{2}$ と $e^{- \frac{x}{2}}$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [\frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2}]$

ステップ 1.3

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x}{2}}]$ です。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x}{2}}]$

ステップ 2

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{- \frac{x}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{1}{2} (x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{2}}] + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - \frac{x}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- \frac{x}{2}$ とします。

$\frac{1}{2} (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{1}{2} (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $- \frac{x}{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (x (e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$- \frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{x}{2}$ の微分係数は $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{2} (x (e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.2

分数をまとめます。

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ステップ 4.2.1

$e^{- \frac{x}{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (x (- \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.2.2

$x$ と $\frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x] + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} \cdot 1 + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}} \cdot 1)$

ステップ 4.6

$e^{- \frac{x}{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}})$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2}) + \frac{1}{2} e^{- \frac{x}{2}}$

ステップ 5.2

項をまとめます。

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ステップ 5.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ をかけます。

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} e^{- \frac{x}{2}}$

ステップ 5.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{4} + \frac{1}{2} e^{- \frac{x}{2}}$

ステップ 5.2.3

$\frac{1}{2}$ と $e^{- \frac{x}{2}}$ をまとめます。

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{4} + \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$

微分積分 例

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