微分積分例

$\sec^{2} (x)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sec (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\sec (x)$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

ステップ 1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

ステップ 1.1.3

$u$ のすべての発生を $\sec (x)$ で置き換えます。

$2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

ステップ 1.2

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x))$

ステップ 1.3

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x)$

ステップ 1.4

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x)$

ステップ 1.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x)$

ステップ 1.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$f' (x) = 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]$

ステップ 2.2

$f (x) = \sec^{2} (x)$ および $g (x) = \tan (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$2 (\sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)])$

ステップ 2.3

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)])$

ステップ 2.4

指数を足して $\sec^{2} (x)$ に $\sec^{2} (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 ({\sec (x)}^{2 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)])$

ステップ 2.4.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)])$

ステップ 2.5

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sec (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\sec (x)$ とします。

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]))$

ステップ 2.5.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)]))$

ステップ 2.5.3

$u$ のすべての発生を $\sec (x)$ で置き換えます。

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]))$

ステップ 2.6

$2$ を $\tan (x)$ の左に移動させます。

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \cdot \tan (x) \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

ステップ 2.7

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan (x) \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))$

ステップ 2.8

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$2 (\sec^{4} (x) + 2 (\tan^{1} (x) \tan (x)) \sec (x) \sec (x))$

ステップ 2.9

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$2 (\sec^{4} (x) + 2 (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) \sec (x) \sec (x))$

ステップ 2.10

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 (\sec^{4} (x) + 2 {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) \sec (x))$

ステップ 2.11

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec (x) \sec (x))$

ステップ 2.12

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) (\sec^{1} (x) \sec (x)))$

ステップ 2.13

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)))$

ステップ 2.14

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) {\sec (x)}^{1 + 1})$

ステップ 2.15

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x))$

ステップ 2.16

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.16.1

分配則を当てはめます。

$2 \sec^{4} (x) + 2 (2 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x))$

ステップ 2.16.2

$2$ に $2$ をかけます。

$2 \sec^{4} (x) + 4 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$

ステップ 2.16.3

項を並べ替えます。

$f'' (x) = 4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x)$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan^{2} (x)]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

ステップ 3.2.2

$f (x) = \sec^{2} (x)$ および $g (x) = \tan^{2} (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$4 (\sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)] + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

ステップ 3.2.3

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \tan (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\tan (x)$ とします。

$4 (\sec^{2} (x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

ステップ 3.2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (\sec^{2} (x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

ステップ 3.2.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\tan (x)$ で置き換えます。

$4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

ステップ 3.2.4

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

ステップ 3.2.5

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sec (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\sec (x)$ とします。

$4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

ステップ 3.2.5.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

ステップ 3.2.5.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\sec (x)$ で置き換えます。

$4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

ステップ 3.2.6

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

ステップ 3.2.7

指数を足して $\sec^{2} (x)$ に $\sec^{2} (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.7.1

$\sec^{2} (x)$ を移動させます。

$4 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) (2 \tan (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

ステップ 3.2.7.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 ({\sec (x)}^{2 + 2} (2 \tan (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

ステップ 3.2.7.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$4 (\sec^{4} (x) (2 \tan (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

ステップ 3.2.8

$2$ を $\sec^{4} (x)$ の左に移動させます。

$4 (2 \cdot \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

ステップ 3.2.9

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

ステップ 3.2.10

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

ステップ 3.2.11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

ステップ 3.2.12

$1$ と $1$ をたし算します。

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 \sec^{2} (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

ステップ 3.2.13

指数を足して $\tan^{2} (x)$ に $\tan (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.13.1

$\tan (x)$ を移動させます。

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan (x) \tan^{2} (x) (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

ステップ 3.2.13.2

$\tan (x)$ に $\tan^{2} (x)$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.13.2.1

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{1} (x) \tan^{2} (x) (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

ステップ 3.2.13.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + {\tan (x)}^{1 + 2} (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

ステップ 3.2.13.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{3} (x) (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

ステップ 3.2.14

$2$ を $\tan^{3} (x)$ の左に移動させます。

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \sec^{4} (x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)]$ です。

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)]$

ステップ 3.3.2

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = \sec (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $\sec (x)$ とします。

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

ステップ 3.3.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ は $n {u_{3}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 {u_{3}}^{3} \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

ステップ 3.3.2.3

$u_{3}$ のすべての発生を $\sec (x)$ で置き換えます。

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

ステップ 3.3.3

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 \sec^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)))$

ステップ 3.3.4

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 (\sec^{1} (x) \sec^{3} (x)) \tan (x))$

ステップ 3.3.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 {\sec (x)}^{1 + 3} \tan (x))$

ステップ 3.3.6

$1$ と $3$ をたし算します。

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 \sec^{4} (x) \tan (x))$

ステップ 3.3.7

$4$ に $2$ をかけます。

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x)$

ステップ 3.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

分配則を当てはめます。

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x)) + 4 (2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x)$

ステップ 3.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

$2$ に $4$ をかけます。

$8 (\sec^{4} (x) \tan (x)) + 4 (2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x)$

ステップ 3.4.2.2

$2$ に $4$ をかけます。

$8 \sec^{4} (x) \tan (x) + 8 (\tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x)$

ステップ 3.4.2.3

$8 \sec^{4} (x) \tan (x)$ と $8 \sec^{4} (x) \tan (x)$ をたし算します。

$f''' (x) = 16 \sec^{4} (x) \tan (x) + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)$

ステップ 4

四次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

総和則では、 $16 \sec^{4} (x) \tan (x) + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [16 \sec^{4} (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [16 \sec^{4} (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)]$

ステップ 4.2

$\frac{d}{d x} [16 \sec^{4} (x) \tan (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$16$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $16 \sec^{4} (x) \tan (x)$ の微分係数は $16 \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x) \tan (x)]$ です。

$16 \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)]$

ステップ 4.2.2

$f (x) = \sec^{4} (x)$ および $g (x) = \tan (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$16 (\sec^{4} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)]) + \frac{d}{d x} [8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)]$

ステップ 4.2.3

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$16 (\sec^{4} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)]) + \frac{d}{d x} [8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)]$

ステップ 4.2.4

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = \sec (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\sec (x)$ とします。

$16 (\sec^{4} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)]$

ステップ 4.2.4.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$16 (\sec^{4} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)]$

ステップ 4.2.4.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\sec (x)$ で置き換えます。

$16 (\sec^{4} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (4 \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)]$

ステップ 4.2.5

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$16 (\sec^{4} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (4 \sec^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)]$

ステップ 4.2.6

指数を足して $\sec^{4} (x)$ に $\sec^{2} (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$16 ({\sec (x)}^{4 + 2} + \tan (x) (4 \sec^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)]$

ステップ 4.2.6.2

$4$ と $2$ をたし算します。

$16 (\sec^{6} (x) + \tan (x) (4 \sec^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)]$

ステップ 4.2.7

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$16 (\sec^{6} (x) + \tan (x) (4 (\sec^{1} (x) \sec^{3} (x)) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)]$

ステップ 4.2.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$16 (\sec^{6} (x) + \tan (x) (4 {\sec (x)}^{1 + 3} \tan (x))) + \frac{d}{d x} [8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)]$

ステップ 4.2.9

$1$ と $3$ をたし算します。

$16 (\sec^{6} (x) + \tan (x) (4 \sec^{4} (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)]$

ステップ 4.2.10

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) (\tan^{1} (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)]$

ステップ 4.2.11

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)]$

ステップ 4.2.12

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) {\tan (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)]$

ステップ 4.2.13

$1$ と $1$ をたし算します。

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)]$

ステップ 4.3

$\frac{d}{d x} [8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x) \sec^{2} (x)]$ です。

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x) \sec^{2} (x)]$

ステップ 4.3.2

$f (x) = \tan^{3} (x)$ および $g (x) = \sec^{2} (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (\tan^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)] + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)])$

ステップ 4.3.3

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sec (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\sec (x)$ とします。

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (\tan^{3} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)])$

ステップ 4.3.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (\tan^{3} (x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)])$

ステップ 4.3.3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\sec (x)$ で置き換えます。

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (\tan^{3} (x) (2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)])$

ステップ 4.3.4

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (\tan^{3} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x))) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)])$

ステップ 4.3.5

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = \tan (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $\tan (x)$ とします。

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (\tan^{3} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x))) + \sec^{2} (x) (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{3}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]))$

ステップ 4.3.5.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ は $n {u_{3}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (\tan^{3} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x))) + \sec^{2} (x) (3 {u_{3}}^{2} \frac{d}{d x} [\tan (x)]))$

ステップ 4.3.5.3

$u_{3}$ のすべての発生を $\tan (x)$ で置き換えます。

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (\tan^{3} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x))) + \sec^{2} (x) (3 \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]))$

ステップ 4.3.6

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (\tan^{3} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x))) + \sec^{2} (x) (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)))$

ステップ 4.3.7

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (\tan^{3} (x) (2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x)) + \sec^{2} (x) (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)))$

ステップ 4.3.8

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (\tan^{3} (x) (2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x)) + \sec^{2} (x) (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)))$

ステップ 4.3.9

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (\tan^{3} (x) (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x)) + \sec^{2} (x) (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)))$

ステップ 4.3.10

$1$ と $1$ をたし算します。

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (\tan^{3} (x) (2 \sec^{2} (x) \tan (x)) + \sec^{2} (x) (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)))$

ステップ 4.3.11

指数を足して $\tan^{3} (x)$ に $\tan (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.11.1

$\tan (x)$ を移動させます。

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (\tan (x) \tan^{3} (x) (2 \sec^{2} (x)) + \sec^{2} (x) (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)))$

ステップ 4.3.11.2

$\tan (x)$ に $\tan^{3} (x)$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.11.2.1

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (\tan^{1} (x) \tan^{3} (x) (2 \sec^{2} (x)) + \sec^{2} (x) (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)))$

ステップ 4.3.11.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 ({\tan (x)}^{1 + 3} (2 \sec^{2} (x)) + \sec^{2} (x) (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)))$

ステップ 4.3.11.3

$1$ と $3$ をたし算します。

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (\tan^{4} (x) (2 \sec^{2} (x)) + \sec^{2} (x) (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)))$

ステップ 4.3.12

$2$ を $\tan^{4} (x)$ の左に移動させます。

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (2 \cdot \tan^{4} (x) \sec^{2} (x) + \sec^{2} (x) (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)))$

ステップ 4.3.13

指数を足して $\sec^{2} (x)$ に $\sec^{2} (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.13.1

$\sec^{2} (x)$ を移動させます。

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (2 \tan^{4} (x) \sec^{2} (x) + \sec^{2} (x) \sec^{2} (x) (3 \tan^{2} (x)))$

ステップ 4.3.13.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (2 \tan^{4} (x) \sec^{2} (x) + {\sec (x)}^{2 + 2} (3 \tan^{2} (x)))$

ステップ 4.3.13.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (2 \tan^{4} (x) \sec^{2} (x) + \sec^{4} (x) (3 \tan^{2} (x)))$

ステップ 4.3.14

$3$ を $\sec^{4} (x)$ の左に移動させます。

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (2 \tan^{4} (x) \sec^{2} (x) + 3 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x))$

ステップ 4.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

分配則を当てはめます。

$16 \sec^{6} (x) + 16 (4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (2 \tan^{4} (x) \sec^{2} (x) + 3 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x))$

ステップ 4.4.2

分配則を当てはめます。

$16 \sec^{6} (x) + 16 (4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (2 \tan^{4} (x) \sec^{2} (x)) + 8 (3 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x))$

ステップ 4.4.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.3.1

$4$ に $16$ をかけます。

$16 \sec^{6} (x) + 64 (\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (2 \tan^{4} (x) \sec^{2} (x)) + 8 (3 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x))$

ステップ 4.4.3.2

$2$ に $8$ をかけます。

$16 \sec^{6} (x) + 64 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x) + 16 (\tan^{4} (x) \sec^{2} (x)) + 8 (3 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x))$

ステップ 4.4.3.3

$3$ に $8$ をかけます。

$16 \sec^{6} (x) + 64 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x) + 16 \tan^{4} (x) \sec^{2} (x) + 24 (\sec^{4} (x) \tan^{2} (x))$

ステップ 4.4.3.4

$64 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)$ と $24 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)$ をたし算します。

$16 \sec^{6} (x) + 88 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x) + 16 \tan^{4} (x) \sec^{2} (x)$

ステップ 4.4.4

項を並べ替えます。

$f^{4} (x) = 88 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x) + 16 \tan^{4} (x) \sec^{2} (x) + 16 \sec^{6} (x)$

微分積分 例

微分積分例