微分積分例

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - \sin (x)}$

ステップ 1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.2.1

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - \sin (x)}$

ステップ 1.2.2

$x$ を $\frac{π}{2}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - \sin (x)}$

ステップ 1.2.3

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - \sin (x)}$

ステップ 1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.3.1

極限を求めます。

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ステップ 1.3.1.1

$x$ が $\frac{π}{2}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}$

ステップ 1.3.1.2

$x$ が $\frac{π}{2}$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{1 - lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}$

ステップ 1.3.1.3

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{0}{1 - \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

ステップ 1.3.2

$x$ を $\frac{π}{2}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{1 - \sin (\frac{π}{2})}$

ステップ 1.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.3.1.1

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.3.3.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{1 - 1}$

ステップ 1.3.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}$

ステップ 3.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}$

ステップ 3.3

総和則では、 $1 - \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ です。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

ステップ 3.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

ステップ 3.5

$\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.5.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \sin (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{0 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 3.5.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{0 - \cos (x)}$

ステップ 3.6

$0$ から $\cos (x)$ を引きます。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{- \cos (x)}$

ステップ 4

2つの負の値を割ると正の値になります。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 5

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \tan (x)$

ステップ 6

左側極限を考えます。

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan (x)$

ステップ 7

$x$ 値が $\frac{π}{2}$ に左から近づくとき、関数の値は境界なく増加します。

$\infty$

ステップ 8

右側極限を考えます。

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan (x)$

ステップ 9

$x$ 値が $\frac{π}{2}$ に右から近づくとき、関数の値は境界なく減少します。

$- \infty$

ステップ 10

左側極限と右側極限が等しくないので、極限はありません。

$存在しない$

微分積分 例

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