微分積分例

$\int \frac{12}{\sqrt{x}} + 12 \sqrt{x} d x$

ステップ 1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{12}{\sqrt{x}} d x + \int 12 \sqrt{x} d x$

ステップ 2

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $12$ を積分の外に移動させます。

$12 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int 12 \sqrt{x} d x$

ステップ 3

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$12 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int 12 \sqrt{x} d x$

ステップ 3.2

$x^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$12 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int 12 \sqrt{x} d x$

ステップ 3.3

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$12 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int 12 \sqrt{x} d x$

ステップ 3.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$12 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int 12 \sqrt{x} d x$

ステップ 3.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$12 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 12 \sqrt{x} d x$

ステップ 4

べき乗則では、 $x^{- \frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $2 x^{\frac{1}{2}}$ です。

$12 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int 12 \sqrt{x} d x$

ステップ 5

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $12$ を積分の外に移動させます。

$12 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 12 \int \sqrt{x} d x$

ステップ 6

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$12 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 12 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

ステップ 7

べき乗則では、 $x^{\frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ です。

$12 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 12 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

簡約します。

$24 x^{\frac{1}{2}} + 12 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) + C$

ステップ 8.2

簡約します。

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ステップ 8.2.1

$\frac{2}{3}$ と $x^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$24 x^{\frac{1}{2}} + 12 \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

ステップ 8.2.2

$12$ と $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ をまとめます。

$24 x^{\frac{1}{2}} + \frac{12 (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} + C$

ステップ 8.2.3

$2$ に $12$ をかけます。

$24 x^{\frac{1}{2}} + \frac{24 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

ステップ 8.2.4

$3$ を $24 x^{\frac{3}{2}}$ で因数分解します。

$24 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 (8 x^{\frac{3}{2}})}{3} + C$

ステップ 8.2.5

共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.5.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$24 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 (8 x^{\frac{3}{2}})}{3 (1)} + C$

ステップ 8.2.5.2

共通因数を約分します。

$24 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 (8 x^{\frac{3}{2}})}{3 \cdot 1} + C$

ステップ 8.2.5.3

式を書き換えます。

$24 x^{\frac{1}{2}} + \frac{8 x^{\frac{3}{2}}}{1} + C$

ステップ 8.2.5.4

$8 x^{\frac{3}{2}}$ を $1$ で割ります。

$24 x^{\frac{1}{2}} + 8 x^{\frac{3}{2}} + C$

微分積分 例

微分積分例