微分積分例

$\int \frac{x^{2}}{4 + x^{2}} d x$

ステップ 1

$4$ と $x^{2}$ を並べ替えます。

$\int \frac{x^{2}}{x^{2} + 4} d x$

ステップ 2

$x^{2}$ を $x^{2} + 4$ で割ります。

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ステップ 2.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

ステップ 2.2

被除数 $x^{2}$ の最高次項を除数 $x^{2}$ の最高次項で割ります。

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

ステップ 2.3

新しい商の項に除数を掛けます。

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$4$

ステップ 2.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{2} + 0 + 4$ の符号をすべて変更します。

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$4$

ステップ 2.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$4$
									-	$4$

ステップ 2.6

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\int 1 - \frac{4}{x^{2} + 4} d x$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int d x + \int - \frac{4}{x^{2} + 4} d x$

ステップ 4

定数の法則を当てはめます。

$x + C + \int - \frac{4}{x^{2} + 4} d x$

ステップ 5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$x + C - \int \frac{4}{x^{2} + 4} d x$

ステップ 6

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$x + C - (4 \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x)$

ステップ 7

式を簡約します。

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ステップ 7.1

$4$ に $- 1$ をかけます。

$x + C - 4 \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

ステップ 7.2

$x^{2}$ と $4$ を並べ替えます。

$x + C - 4 \int \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

ステップ 7.3

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x + C - 4 \int \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

ステップ 8

$\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C$ です。

$x + C - 4 (\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C)$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

$\frac{1}{2}$ と $\arctan (\frac{x}{2})$ をまとめます。

$x + C - 4 (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C)$

ステップ 9.2

簡約します。

$x - 2 \arctan (\frac{x}{2}) + C$

ステップ 9.3

項を並べ替えます。

$x - 2 \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

微分積分 例

微分積分例