微分積分例

$\int \sec^{6} (x) d x$

ステップ 1

くくりだして簡約します。

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ステップ 1.1

$6$ を $4$ プラス $2$ に書き換える

$\int {\sec (x)}^{4 + 2} d x$

ステップ 1.2

${\sec (x)}^{4 + 2}$ を $\sec^{4} (x) \sec^{2} (x)$ に書き換えます。

$\int \sec^{4} (x) \sec^{2} (x) d x$

ステップ 1.3

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\int {\sec (x)}^{2 (2)} \sec^{2} (x) d x$

ステップ 1.4

${\sec (x)}^{2 (2)}$ を累乗法として書き換えます。

$\int {(\sec^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x) d x$

ステップ 2

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\sec^{2} (x)$ を $1 + \tan^{2} (x)$ に書き換えます。

$\int {(1 + \tan^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x) d x$

ステップ 3

$u = \tan (x)$ とします。次に $d u = \sec^{2} (x) d x$ すると、 $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1

$u = \tan (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1

$\tan (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

ステップ 3.1.2

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$\sec^{2} (x)$

ステップ 3.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int {(1 + u^{2})}^{2} d u$

ステップ 4

${(1 + u^{2})}^{2}$ を展開します。

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ステップ 4.1

${(1 + u^{2})}^{2}$ を $(1 + u^{2}) (1 + u^{2})$ に書き換えます。

$\int (1 + u^{2}) (1 + u^{2}) d u$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$\int 1 (1 + u^{2}) + u^{2} (1 + u^{2}) d u$

ステップ 4.3

分配則を当てはめます。

$\int 1 \cdot 1 + 1 u^{2} + u^{2} (1 + u^{2}) d u$

ステップ 4.4

分配則を当てはめます。

$\int 1 \cdot 1 + 1 u^{2} + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2} d u$

ステップ 4.5

$u^{2}$ と $1$ を並べ替えます。

$\int 1 \cdot 1 + 1 u^{2} + 1 \cdot u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

ステップ 4.6

$1$ に $1$ をかけます。

$\int 1 + 1 u^{2} + 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

ステップ 4.7

$u^{2}$ に $1$ をかけます。

$\int 1 + u^{2} + 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

ステップ 4.8

$u^{2}$ に $1$ をかけます。

$\int 1 + u^{2} + u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

ステップ 4.9

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int 1 + u^{2} + u^{2} + u^{2 + 2} d u$

ステップ 4.10

$2$ と $2$ をたし算します。

$\int 1 + u^{2} + u^{2} + u^{4} d u$

ステップ 4.11

$u^{2}$ と $u^{2}$ をたし算します。

$\int 1 + 2 u^{2} + u^{4} d u$

ステップ 4.12

$2 u^{2}$ と $u^{4}$ を並べ替えます。

$\int 1 + u^{4} + 2 u^{2} d u$

ステップ 4.13

$1$ を移動させます。

$\int u^{4} + 2 u^{2} + 1 d u$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$\int u^{4} d u + \int 2 u^{2} d u + \int d u$

ステップ 6

べき乗則では、 $u^{4}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{5} u^{5}$ です。

$\frac{1}{5} u^{5} + C + \int 2 u^{2} d u + \int d u$

ステップ 7

$2$ は $u$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{5} u^{5} + C + 2 \int u^{2} d u + \int d u$

ステップ 8

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$\frac{1}{5} u^{5} + C + 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int d u$

ステップ 9

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{5} u^{5} + C + 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

$\frac{1}{3}$ と $u^{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{5} u^{5} + C + 2 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C$

ステップ 10.2

簡約します。

$\frac{u^{5}}{5} + \frac{2 u^{3}}{3} + u + C$

ステップ 11

$u$ のすべての発生を $\tan (x)$ で置き換えます。

$\frac{\tan^{5} (x)}{5} + \frac{2 \tan^{3} (x)}{3} + \tan (x) + C$

ステップ 12

項を並べ替えます。

$\frac{1}{5} \tan^{5} (x) + \frac{2}{3} \tan^{3} (x) + \tan (x) + C$

微分積分 例

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