微分積分例

$\int x^{2} \sqrt{1 + x^{3}} d x$

ステップ 1

$u = 1 + x^{3}$ とします。次に $d u = 3 x^{2} d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 1 + x^{3}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$1 + x^{3}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 + x^{3}]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $1 + x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 1.1.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 1.1.4

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 3 x^{2}$

ステップ 1.1.5

$0$ と $3 x^{2}$ をたし算します。

$3 x^{2}$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

ステップ 2

$\sqrt{u}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\int \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \int \sqrt{u} d u$

ステップ 4

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ を $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 6.2

簡約します。

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ステップ 6.2.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{2}{3}$ をかけます。

$\frac{2}{3 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 6.2.2

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{2}{9} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 7

$u$ のすべての発生を $1 + x^{3}$ で置き換えます。

$\frac{2}{9} {(1 + x^{3})}^{\frac{3}{2}} + C$

微分積分 例

微分積分例