微分積分例

$\int_{- 3}^{- 2} 2 x {(6 - x^{2})}^{3} d x$

ステップ 1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int_{- 3}^{- 2} x {(6 - x^{2})}^{3} d x$

ステップ 2

$u = 6 - x^{2}$ とします。次に $d u = - 2 x d x$ すると、 $- \frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = 6 - x^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$6 - x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [6 - x^{2}]$

ステップ 2.1.2

微分します。

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ステップ 2.1.2.1

総和則では、 $6 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 2.1.2.2

$6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - (2 x)$

ステップ 2.1.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$0 - 2 x$

ステップ 2.1.4

$0$ から $2 x$ を引きます。

$- 2 x$

ステップ 2.2

$u = 6 - x^{2}$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 6 - {(- 3)}^{2}$

ステップ 2.3

簡約します。

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ステップ 2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$u_{lower} = 6 - 1 \cdot 9$

ステップ 2.3.1.2

$- 1$ に $9$ をかけます。

$u_{lower} = 6 - 9$

ステップ 2.3.2

$6$ から $9$ を引きます。

$u_{lower} = - 3$

ステップ 2.4

$u = 6 - x^{2}$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 6 - {(- 2)}^{2}$

ステップ 2.5

簡約します。

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ステップ 2.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.5.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$u_{upper} = 6 - 1 \cdot 4$

ステップ 2.5.1.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$u_{upper} = 6 - 4$

ステップ 2.5.2

$6$ から $4$ を引きます。

$u_{upper} = 2$

ステップ 2.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = 2$

ステップ 2.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$2 \int_{- 3}^{2} u^{3} \frac{1}{- 2} d u$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分数の前に負数を移動させます。

$2 \int_{- 3}^{2} u^{3} (- \frac{1}{2}) d u$

ステップ 3.2

$u^{3}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$2 \int_{- 3}^{2} - \frac{u^{3}}{2} d u$

ステップ 4

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$2 (- \int_{- 3}^{2} \frac{u^{3}}{2} d u)$

ステップ 5

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 \int_{- 3}^{2} \frac{u^{3}}{2} d u$

ステップ 6

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- 2 (\frac{1}{2} \int_{- 3}^{2} u^{3} d u)$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{1}{2}$ と $- 2$ をまとめます。

$\frac{- 2}{2} \int_{- 3}^{2} u^{3} d u$

ステップ 7.2

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot - 1}{2} \int_{- 3}^{2} u^{3} d u$

ステップ 7.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int_{- 3}^{2} u^{3} d u$

ステップ 7.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int_{- 3}^{2} u^{3} d u$

ステップ 7.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 1}{1} \int_{- 3}^{2} u^{3} d u$

ステップ 7.2.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$- \int_{- 3}^{2} u^{3} d u$

ステップ 8

べき乗則では、 $u^{3}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{4} u^{4}$ です。

$- (\frac{1}{4} u^{4}]_{- 3}^{2})$

ステップ 9

$\frac{1}{4}$ と $u^{4}$ をまとめます。

$- (\frac{u^{4}}{4}]_{- 3}^{2})$

ステップ 10

代入し簡約します。

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ステップ 10.1

$2$ および $- 3$ で $\frac{u^{4}}{4}$ の値を求めます。

$- ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{{(- 3)}^{4}}{4})$

ステップ 10.2

簡約します。

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ステップ 10.2.1

$2$ を $4$ 乗します。

$- (\frac{16}{4} - \frac{{(- 3)}^{4}}{4})$

ステップ 10.2.2

$16$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.2.1

$4$ を $16$ で因数分解します。

$- (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{{(- 3)}^{4}}{4})$

ステップ 10.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.2.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$- (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{{(- 3)}^{4}}{4})$

ステップ 10.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$- (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{4}}{4})$

ステップ 10.2.2.2.3

式を書き換えます。

$- (\frac{4}{1} - \frac{{(- 3)}^{4}}{4})$

ステップ 10.2.2.2.4

$4$ を $1$ で割ります。

$- (4 - \frac{{(- 3)}^{4}}{4})$

ステップ 10.2.3

$- 3$ を $4$ 乗します。

$- (4 - \frac{81}{4})$

ステップ 10.2.4

$4$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$- (4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{81}{4})$

ステップ 10.2.5

$4$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$- (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{81}{4})$

ステップ 10.2.6

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{4 \cdot 4 - 81}{4}$

ステップ 10.2.7

分子を簡約します。

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ステップ 10.2.7.1

$4$ に $4$ をかけます。

$- \frac{16 - 81}{4}$

ステップ 10.2.7.2

$16$ から $81$ を引きます。

$- \frac{- 65}{4}$

ステップ 10.2.8

分数の前に負数を移動させます。

$- - \frac{65}{4}$

ステップ 10.2.9

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 (\frac{65}{4})$

ステップ 10.2.10

$\frac{65}{4}$ に $1$ をかけます。

$\frac{65}{4}$

ステップ 11

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{65}{4}$

10進法形式：

$16.25$

帯分数形：

$16 \frac{1}{4}$

ステップ 12

微分積分 例

微分積分例