微分積分例

$\int_{0}^{1} x^{11} {(1 + x^{12})}^{11} d x$

ステップ 1

$u = 1 + x^{12}$ とします。次に $d u = 12 x^{11} d x$ すると、 $\frac{1}{12} d u = x^{11} d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 1 + x^{12}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$1 + x^{12}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 + x^{12}]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $1 + x^{12}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{12}]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{12}]$

ステップ 1.1.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{12}]$

ステップ 1.1.4

$n = 12$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 12 x^{11}$

ステップ 1.1.5

$0$ と $12 x^{11}$ をたし算します。

$12 x^{11}$

ステップ 1.2

$u = 1 + x^{12}$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 1 + 0^{12}$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$u_{lower} = 1 + 0$

ステップ 1.3.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$u_{lower} = 1$

ステップ 1.4

$u = 1 + x^{12}$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1 + 1^{12}$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

1のすべての数の累乗は1です。

$u_{upper} = 1 + 1$

ステップ 1.5.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$u_{upper} = 2$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{1}^{2} u^{11} \frac{1}{12} d u$

ステップ 2

$u^{11}$ と $\frac{1}{12}$ をまとめます。

$\int_{1}^{2} \frac{u^{11}}{12} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{12}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{12}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{12} \int_{1}^{2} u^{11} d u$

ステップ 4

べき乗則では、 $u^{11}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{12} u^{12}$ です。

$\frac{1}{12} \frac{1}{12} u^{12}]_{1}^{2}$

ステップ 5

代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$2$ および $1$ で $\frac{1}{12} u^{12}$ の値を求めます。

$\frac{1}{12} ((\frac{1}{12} \cdot 2^{12}) - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

$2$ を $12$ 乗します。

$\frac{1}{12} (\frac{1}{12} \cdot 4096 - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

ステップ 5.2.2

$\frac{1}{12}$ と $4096$ をまとめます。

$\frac{1}{12} (\frac{4096}{12} - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

ステップ 5.2.3

$4096$ と $12$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.1

$4$ を $4096$ で因数分解します。

$\frac{1}{12} (\frac{4 (1024)}{12} - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

ステップ 5.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.2.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{1}{12} (\frac{4 \cdot 1024}{4 \cdot 3} - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

ステップ 5.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{12} (\frac{4 \cdot 1024}{4 \cdot 3} - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

ステップ 5.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{12} (\frac{1024}{3} - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

ステップ 5.2.4

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{12} (\frac{1024}{3} - \frac{1}{12} \cdot 1)$

ステップ 5.2.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{12} (\frac{1024}{3} - \frac{1}{12})$

ステップ 5.2.6

$\frac{1024}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\frac{1}{12} (\frac{1024}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{12})$

ステップ 5.2.7

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $12$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 5.2.7.1

$\frac{1024}{3}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{1}{12} (\frac{1024 \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{1}{12})$

ステップ 5.2.7.2

$3$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{12} (\frac{1024 \cdot 4}{12} - \frac{1}{12})$

ステップ 5.2.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{12} \cdot \frac{1024 \cdot 4 - 1}{12}$

ステップ 5.2.9

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.9.1

$1024$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{12} \cdot \frac{4096 - 1}{12}$

ステップ 5.2.9.2

$4096$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{12} \cdot \frac{4095}{12}$

ステップ 5.2.10

$4095$ と $12$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.10.1

$3$ を $4095$ で因数分解します。

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 (1365)}{12}$

ステップ 5.2.10.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.10.2.1

$3$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 \cdot 1365}{3 \cdot 4}$

ステップ 5.2.10.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 \cdot 1365}{3 \cdot 4}$

ステップ 5.2.10.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{12} \cdot \frac{1365}{4}$

ステップ 5.2.11

$\frac{1}{12}$ に $\frac{1365}{4}$ をかけます。

$\frac{1365}{12 \cdot 4}$

ステップ 5.2.12

$12$ に $4$ をかけます。

$\frac{1365}{48}$

ステップ 5.2.13

$1365$ と $48$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.13.1

$3$ を $1365$ で因数分解します。

$\frac{3 (455)}{48}$

ステップ 5.2.13.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.13.2.1

$3$ を $48$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 455}{3 \cdot 16}$

ステップ 5.2.13.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot 455}{3 \cdot 16}$

ステップ 5.2.13.2.3

式を書き換えます。

$\frac{455}{16}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{455}{16}$

10進法形式：

$28.4375$

帯分数形：

$28 \frac{7}{16}$

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例