微分積分例

$\int_{0}^{5} x \sqrt{25 - x^{2}} d x$

ステップ 1

$u = 25 - x^{2}$ とします。次に $d u = - 2 x d x$ すると、 $- \frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 25 - x^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$25 - x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $25 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 1.1.2.2

$25$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $25$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - (2 x)$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$0 - 2 x$

ステップ 1.1.4

$0$ から $2 x$ を引きます。

$- 2 x$

ステップ 1.2

$u = 25 - x^{2}$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 25 - 0^{2}$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$u_{lower} = 25 - 0$

ステップ 1.3.1.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 25 + 0$

ステップ 1.3.2

$25$ と $0$ をたし算します。

$u_{lower} = 25$

ステップ 1.4

$u = 25 - x^{2}$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 25 - 5^{2}$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.5.1.1

$5$ を $2$ 乗します。

$u_{upper} = 25 - 1 \cdot 25$

ステップ 1.5.1.2

$- 1$ に $25$ をかけます。

$u_{upper} = 25 - 25$

ステップ 1.5.2

$25$ から $25$ を引きます。

$u_{upper} = 0$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 25$

$u_{upper} = 0$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{25}^{0} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

分数の前に負数を移動させます。

$\int_{25}^{0} \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

ステップ 2.2

$\sqrt{u}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int_{25}^{0} - \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

ステップ 3

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int_{25}^{0} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

ステップ 4

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- (\frac{1}{2} \int_{25}^{0} \sqrt{u} d u)$

ステップ 5

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{2} \int_{25}^{0} u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 6

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$- \frac{1}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{25}^{0}$

ステップ 7

代入し簡約します。

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ステップ 7.1

$0$ および $25$ で $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ の値を求めます。

$- \frac{1}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}})$

ステップ 7.2

簡約します。

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ステップ 7.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}})$

ステップ 7.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}})$

ステップ 7.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.3.1

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}})$

ステップ 7.2.3.2

式を書き換えます。

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{3} - \frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}})$

ステップ 7.2.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}})$

ステップ 7.2.5

$\frac{2}{3}$ に $0$ をかけます。

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}})$

ステップ 7.2.6

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot {(5^{2})}^{\frac{3}{2}})$

ステップ 7.2.7

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})})$

ステップ 7.2.8

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.8.1

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})})$

ステップ 7.2.8.2

式を書き換えます。

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot 5^{3})$

ステップ 7.2.9

$5$ を $3$ 乗します。

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot 125)$

ステップ 7.2.10

$125$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{1}{2} (0 - 125 (\frac{2}{3}))$

ステップ 7.2.11

$- 125$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$- \frac{1}{2} (0 + \frac{- 125 \cdot 2}{3})$

ステップ 7.2.12

$- 125$ に $2$ をかけます。

$- \frac{1}{2} (0 + \frac{- 250}{3})$

ステップ 7.2.13

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{250}{3})$

ステップ 7.2.14

$0$ から $\frac{250}{3}$ を引きます。

$- \frac{1}{2} (- \frac{250}{3})$

ステップ 7.2.15

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 (\frac{1}{2}) \frac{250}{3}$

ステップ 7.2.16

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{250}{3}$

ステップ 7.2.17

$\frac{1}{2}$ に $\frac{250}{3}$ をかけます。

$\frac{250}{2 \cdot 3}$

ステップ 7.2.18

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{250}{6}$

ステップ 7.2.19

$250$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.19.1

$2$ を $250$ で因数分解します。

$\frac{2 (125)}{6}$

ステップ 7.2.19.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.19.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 125}{2 \cdot 3}$

ステップ 7.2.19.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 125}{2 \cdot 3}$

ステップ 7.2.19.2.3

式を書き換えます。

$\frac{125}{3}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{125}{3}$

10進法形式：

$41.\overline{6}$

帯分数形：

$41 \frac{2}{3}$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例