微分積分例

$\int \frac{x^{2}}{x^{4} - 2 x^{2} - 8} d x$

ステップ 1

部分分数分解を利用して分数を書きます。

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ステップ 1.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

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ステップ 1.1.1

分数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{x^{2}}{{(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} - 8}$

ステップ 1.1.1.2

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$\frac{x^{2}}{u^{2} - 2 u - 8}$

ステップ 1.1.1.3

たすき掛けを利用して $u^{2} - 2 u - 8$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 8$ で、その和が $- 2$ です。

$- 4, 2$

ステップ 1.1.1.3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{x^{2}}{(u - 4) (u + 2)}$

ステップ 1.1.1.4

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{x^{2}}{(x^{2} - 4) (x^{2} + 2)}$

ステップ 1.1.1.5

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{x^{2}}{(x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 2)}$

ステップ 1.1.1.6

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$\frac{x^{2}}{(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}$

ステップ 1.1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $A$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x + 2}$

ステップ 1.1.3

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2}$

ステップ 1.1.4

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。因数は2次なので、 $2$ 項が分子に必要です。分子に必要な項数は常に分母の因数の次数と同じです。

$\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C x + D}{x^{2} + 2}$

ステップ 1.1.5

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)$ です。

$\frac{x^{2} (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

ステップ 1.1.6

$x + 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.1

共通因数を約分します。

ステップ 1.1.6.2

式を書き換えます。

$\frac{(x^{2} (x - 2)) (x^{2} + 2)}{(x - 2) (x^{2} + 2)} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

ステップ 1.1.7

$x - 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} (x - 2) (x^{2} + 2)}{(x - 2) (x^{2} + 2)} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

ステップ 1.1.7.2

式を書き換えます。

$\frac{(x^{2}) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

ステップ 1.1.8

$x^{2} + 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

ステップ 1.1.8.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

ステップ 1.1.9

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.9.1

$x + 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.9.1.1

共通因数を約分します。

$x^{2} = \frac{A (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

ステップ 1.1.9.1.2

$((A) (x - 2)) (x^{2} + 2)$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = ((A) (x - 2)) (x^{2} + 2) + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

ステップ 1.1.9.2

分配則を当てはめます。

$x^{2} = (A x + A \cdot - 2) (x^{2} + 2) + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

ステップ 1.1.9.3

$- 2$ を $A$ の左に移動させます。

$x^{2} = (A x - 2 \cdot A) (x^{2} + 2) + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

ステップ 1.1.9.4

分配法則（FOIL法）を使って $(A x - 2 A) (x^{2} + 2)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.9.4.1

分配則を当てはめます。

$x^{2} = A x (x^{2} + 2) - 2 A (x^{2} + 2) + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

ステップ 1.1.9.4.2

分配則を当てはめます。

$x^{2} = A x \cdot x^{2} + A x \cdot 2 - 2 A (x^{2} + 2) + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

ステップ 1.1.9.4.3

分配則を当てはめます。

$x^{2} = A x \cdot x^{2} + A x \cdot 2 - 2 A x^{2} - 2 A \cdot 2 + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

ステップ 1.1.9.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.9.5.1

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.9.5.1.1

$x^{2}$ を移動させます。

$x^{2} = A (x^{2} x) + A x \cdot 2 - 2 A x^{2} - 2 A \cdot 2 + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

ステップ 1.1.9.5.1.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.9.5.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{2} = A (x^{2} x) + A x \cdot 2 - 2 A x^{2} - 2 A \cdot 2 + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

ステップ 1.1.9.5.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{2} = A x^{2 + 1} + A x \cdot 2 - 2 A x^{2} - 2 A \cdot 2 + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

ステップ 1.1.9.5.1.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$x^{2} = A x^{3} + A x \cdot 2 - 2 A x^{2} - 2 A \cdot 2 + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

ステップ 1.1.9.5.2

$2$ を $A x$ の左に移動させます。

$x^{2} = A x^{3} + 2 \cdot (A x) - 2 A x^{2} - 2 A \cdot 2 + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

ステップ 1.1.9.5.3

$2$ に $- 2$ をかけます。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

ステップ 1.1.9.6

$x - 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.9.6.1

共通因数を約分します。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

ステップ 1.1.9.6.2

$(B) (x + 2) (x^{2} + 2)$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + (B) (x + 2) (x^{2} + 2) + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

ステップ 1.1.9.7

分配則を当てはめます。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + (B x + B \cdot 2) (x^{2} + 2) + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

ステップ 1.1.9.8

$2$ を $B$ の左に移動させます。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + (B x + 2 \cdot B) (x^{2} + 2) + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

ステップ 1.1.9.9

分配法則（FOIL法）を使って $(B x + 2 B) (x^{2} + 2)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.9.9.1

分配則を当てはめます。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x (x^{2} + 2) + 2 B (x^{2} + 2) + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

ステップ 1.1.9.9.2

分配則を当てはめます。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x \cdot x^{2} + B x \cdot 2 + 2 B (x^{2} + 2) + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

ステップ 1.1.9.9.3

分配則を当てはめます。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x \cdot x^{2} + B x \cdot 2 + 2 B x^{2} + 2 B \cdot 2 + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

ステップ 1.1.9.10

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.9.10.1

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.9.10.1.1

$x^{2}$ を移動させます。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B (x^{2} x) + B x \cdot 2 + 2 B x^{2} + 2 B \cdot 2 + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

ステップ 1.1.9.10.1.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.9.10.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B (x^{2} x) + B x \cdot 2 + 2 B x^{2} + 2 B \cdot 2 + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

ステップ 1.1.9.10.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{2 + 1} + B x \cdot 2 + 2 B x^{2} + 2 B \cdot 2 + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

ステップ 1.1.9.10.1.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + B x \cdot 2 + 2 B x^{2} + 2 B \cdot 2 + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

ステップ 1.1.9.10.2

$2$ を $B x$ の左に移動させます。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 \cdot (B x) + 2 B x^{2} + 2 B \cdot 2 + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

ステップ 1.1.9.10.3

$2$ に $2$ をかけます。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

ステップ 1.1.9.11

$x^{2} + 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.9.11.1

共通因数を約分します。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

ステップ 1.1.9.11.2

$(C x + D) (x + 2) (x - 2)$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + (C x + D) (x + 2) (x - 2)$

ステップ 1.1.9.12

分配法則（FOIL法）を使って $(C x + D) (x + 2)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.9.12.1

分配則を当てはめます。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + (C x (x + 2) + D (x + 2)) (x - 2)$

ステップ 1.1.9.12.2

分配則を当てはめます。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + (C x \cdot x + C x \cdot 2 + D (x + 2)) (x - 2)$

ステップ 1.1.9.12.3

分配則を当てはめます。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + (C x \cdot x + C x \cdot 2 + D x + D \cdot 2) (x - 2)$

ステップ 1.1.9.13

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.9.13.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.9.13.1.1

$x$ を移動させます。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + (C (x \cdot x) + C x \cdot 2 + D x + D \cdot 2) (x - 2)$

ステップ 1.1.9.13.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + (C x^{2} + C x \cdot 2 + D x + D \cdot 2) (x - 2)$

ステップ 1.1.9.13.2

$2$ を $C x$ の左に移動させます。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + (C x^{2} + 2 \cdot (C x) + D x + D \cdot 2) (x - 2)$

ステップ 1.1.9.13.3

$2$ を $D$ の左に移動させます。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + (C x^{2} + 2 C x + D x + 2 D) (x - 2)$

ステップ 1.1.9.14

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(C x^{2} + 2 C x + D x + 2 D) (x - 2)$ を展開します。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{2} x + C x^{2} \cdot - 2 + 2 C x \cdot x + 2 C x \cdot - 2 + D x \cdot x + D x \cdot - 2 + 2 D x + 2 D \cdot - 2$

ステップ 1.1.9.15

$C x^{2} x + C x^{2} \cdot - 2 + 2 C x \cdot x + 2 C x \cdot - 2 + D x \cdot x + D x \cdot - 2 + 2 D x + 2 D \cdot - 2$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.9.15.1

$D x \cdot - 2$ と $2 D x$ について因数を並べ替えます。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{2} x + C x^{2} \cdot - 2 + 2 C x \cdot x + 2 C x \cdot - 2 + D x \cdot x - 2 D x + 2 D x + 2 D \cdot - 2$

ステップ 1.1.9.15.2

$- 2 D x$ と $2 D x$ をたし算します。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{2} x + C x^{2} \cdot - 2 + 2 C x \cdot x + 2 C x \cdot - 2 + D x \cdot x + 0 + 2 D \cdot - 2$

ステップ 1.1.9.15.3

$C x^{2} x + C x^{2} \cdot - 2 + 2 C x \cdot x + 2 C x \cdot - 2 + D x \cdot x$ と $0$ をたし算します。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{2} x + C x^{2} \cdot - 2 + 2 C x \cdot x + 2 C x \cdot - 2 + D x \cdot x + 2 D \cdot - 2$

ステップ 1.1.9.16

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.9.16.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.9.16.1.1

$x$ を移動させます。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C (x \cdot x^{2}) + C x^{2} \cdot - 2 + 2 C x \cdot x + 2 C x \cdot - 2 + D x \cdot x + 2 D \cdot - 2$

ステップ 1.1.9.16.1.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.9.16.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C (x \cdot x^{2}) + C x^{2} \cdot - 2 + 2 C x \cdot x + 2 C x \cdot - 2 + D x \cdot x + 2 D \cdot - 2$

ステップ 1.1.9.16.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{1 + 2} + C x^{2} \cdot - 2 + 2 C x \cdot x + 2 C x \cdot - 2 + D x \cdot x + 2 D \cdot - 2$

ステップ 1.1.9.16.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} + C x^{2} \cdot - 2 + 2 C x \cdot x + 2 C x \cdot - 2 + D x \cdot x + 2 D \cdot - 2$

ステップ 1.1.9.16.2

$- 2$ を $C x^{2}$ の左に移動させます。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} - 2 \cdot (C x^{2}) + 2 C x \cdot x + 2 C x \cdot - 2 + D x \cdot x + 2 D \cdot - 2$

ステップ 1.1.9.16.3

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.9.16.3.1

$x$ を移動させます。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} - 2 C x^{2} + 2 C (x \cdot x) + 2 C x \cdot - 2 + D x \cdot x + 2 D \cdot - 2$

ステップ 1.1.9.16.3.2

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} - 2 C x^{2} + 2 C x^{2} + 2 C x \cdot - 2 + D x \cdot x + 2 D \cdot - 2$

ステップ 1.1.9.16.4

$- 2$ に $2$ をかけます。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} - 2 C x^{2} + 2 C x^{2} - 4 C x + D x \cdot x + 2 D \cdot - 2$

ステップ 1.1.9.16.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.9.16.5.1

$x$ を移動させます。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} - 2 C x^{2} + 2 C x^{2} - 4 C x + D (x \cdot x) + 2 D \cdot - 2$

ステップ 1.1.9.16.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} - 2 C x^{2} + 2 C x^{2} - 4 C x + D x^{2} + 2 D \cdot - 2$

ステップ 1.1.9.16.6

$- 2$ に $2$ をかけます。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} - 2 C x^{2} + 2 C x^{2} - 4 C x + D x^{2} - 4 D$

ステップ 1.1.9.17

$C x^{3} - 2 C x^{2} + 2 C x^{2} - 4 C x + D x^{2} - 4 D$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.9.17.1

$- 2 C x^{2}$ と $2 C x^{2}$ をたし算します。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} + 0 - 4 C x + D x^{2} - 4 D$

ステップ 1.1.9.17.2

$C x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} - 4 C x + D x^{2} - 4 D$

ステップ 1.1.10

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.10.1

$A$ を移動させます。

$x^{2} = A x^{3} + 2 x A - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} - 4 C x + D x^{2} - 4 D$

ステップ 1.1.10.2

$A$ を移動させます。

$x^{2} = A x^{3} + 2 x A - 2 x^{2} A - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} - 4 C x + D x^{2} - 4 D$

ステップ 1.1.10.3

$B$ と $x^{3}$ を並べ替えます。

$x^{2} = A x^{3} + 2 x A - 2 x^{2} A - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} - 4 C x + D x^{2} - 4 D$

ステップ 1.1.10.4

$B$ を移動させます。

$x^{2} = A x^{3} + 2 x A - 2 x^{2} A - 4 A + B x^{3} + 2 x B + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} - 4 C x + D x^{2} - 4 D$

ステップ 1.1.10.5

$B$ を移動させます。

$x^{2} = A x^{3} + 2 x A - 2 x^{2} A - 4 A + B x^{3} + 2 x B + 2 x^{2} B + 4 B + C x^{3} - 4 C x + D x^{2} - 4 D$

ステップ 1.1.10.6

$4 B$ を移動させます。

$x^{2} = A x^{3} + 2 x A - 2 x^{2} A - 4 A + B x^{3} + 2 x B + 2 x^{2} B + C x^{3} - 4 C x + D x^{2} + 4 B - 4 D$

ステップ 1.1.10.7

$- 4 A$ を移動させます。

$x^{2} = A x^{3} + 2 x A - 2 x^{2} A + B x^{3} + 2 x B + 2 x^{2} B + C x^{3} - 4 C x + D x^{2} - 4 A + 4 B - 4 D$

ステップ 1.1.10.8

$- 4 C x$ を移動させます。

$x^{2} = A x^{3} + 2 x A - 2 x^{2} A + B x^{3} + 2 x B + 2 x^{2} B + C x^{3} + D x^{2} - 4 C x - 4 A + 4 B - 4 D$

ステップ 1.1.10.9

$2 x B$ を移動させます。

$x^{2} = A x^{3} + 2 x A - 2 x^{2} A + B x^{3} + 2 x^{2} B + C x^{3} + D x^{2} + 2 x B - 4 C x - 4 A + 4 B - 4 D$

ステップ 1.1.10.10

$2 x A$ を移動させます。

$x^{2} = A x^{3} - 2 x^{2} A + B x^{3} + 2 x^{2} B + C x^{3} + D x^{2} + 2 x A + 2 x B - 4 C x - 4 A + 4 B - 4 D$

ステップ 1.1.10.11

$2 x^{2} B$ を移動させます。

$x^{2} = A x^{3} - 2 x^{2} A + B x^{3} + C x^{3} + 2 x^{2} B + D x^{2} + 2 x A + 2 x B - 4 C x - 4 A + 4 B - 4 D$

ステップ 1.1.10.12

$- 2 x^{2} A$ を移動させます。

$x^{2} = A x^{3} + B x^{3} + C x^{3} - 2 x^{2} A + 2 x^{2} B + D x^{2} + 2 x A + 2 x B - 4 C x - 4 A + 4 B - 4 D$

ステップ 1.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

式の両辺から $x^{3}$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = A + B + C$

ステップ 1.2.2

式の両辺から $x^{2}$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = - 2 A + 2 B + D$

ステップ 1.2.3

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

ステップ 1.2.4

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

ステップ 1.2.5

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$0 = A + B + C$

$1 = - 2 A + 2 B + D$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

$0 = A + B + C$

$1 = - 2 A + 2 B + D$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

ステップ 1.3

連立方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$0 = A + B + C$ の $A$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

方程式を $A + B + C = 0$ として書き換えます。

$A + B + C = 0$

$1 = - 2 A + 2 B + D$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

ステップ 1.3.1.2

$A$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.2.1

方程式の両辺から $B$ を引きます。

$A + C = - B$

$1 = - 2 A + 2 B + D$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

ステップ 1.3.1.2.2

方程式の両辺から $C$ を引きます。

$A = - B - C$

$1 = - 2 A + 2 B + D$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

$A = - B - C$

$1 = - 2 A + 2 B + D$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

$A = - B - C$

$1 = - 2 A + 2 B + D$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

ステップ 1.3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $- B - C$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

$1 = - 2 A + 2 B + D$ の $A$ のすべての発生を $- B - C$ で置き換えます。

$1 = - 2 (- B - C) + 2 B + D$

$A = - B - C$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

ステップ 1.3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.2.1

$- 2 (- B - C) + 2 B + D$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$1 = - 2 (- B) - 2 (- C) + 2 B + D$

$A = - B - C$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

ステップ 1.3.2.2.1.1.2

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$1 = 2 B - 2 (- C) + 2 B + D$

$A = - B - C$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

ステップ 1.3.2.2.1.1.3

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$1 = 2 B + 2 C + 2 B + D$

$A = - B - C$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

$1 = 2 B + 2 C + 2 B + D$

$A = - B - C$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

ステップ 1.3.2.2.1.2

$2 B$ と $2 B$ をたし算します。

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

ステップ 1.3.2.3

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$ の $A$ のすべての発生を $- B - C$ で置き換えます。

$0 = 2 (- B - C) + 2 B - 4 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

ステップ 1.3.2.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.4.1

$2 (- B - C) + 2 B - 4 C$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.4.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.4.1.1.1

分配則を当てはめます。

$0 = 2 (- B) + 2 (- C) + 2 B - 4 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

ステップ 1.3.2.4.1.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$0 = - 2 B + 2 (- C) + 2 B - 4 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

ステップ 1.3.2.4.1.1.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$0 = - 2 B - 2 C + 2 B - 4 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

$0 = - 2 B - 2 C + 2 B - 4 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

ステップ 1.3.2.4.1.2

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.4.1.2.1

$- 2 B - 2 C + 2 B - 4 C$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.4.1.2.1.1

$- 2 B$ と $2 B$ をたし算します。

$0 = - 2 C + 0 - 4 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

ステップ 1.3.2.4.1.2.1.2

$- 2 C$ と $0$ をたし算します。

$0 = - 2 C - 4 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

$0 = - 2 C - 4 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

ステップ 1.3.2.4.1.2.2

$- 2 C$ から $4 C$ を引きます。

$0 = - 6 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

$0 = - 6 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

$0 = - 6 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

$0 = - 6 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

ステップ 1.3.2.5

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$ の $A$ のすべての発生を $- B - C$ で置き換えます。

$0 = - 4 (- B - C) + 4 B - 4 D$

$0 = - 6 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

ステップ 1.3.2.6

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.6.1

$- 4 (- B - C) + 4 B - 4 D$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.6.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.6.1.1.1

分配則を当てはめます。

$0 = - 4 (- B) - 4 (- C) + 4 B - 4 D$

$0 = - 6 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

ステップ 1.3.2.6.1.1.2

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$0 = 4 B - 4 (- C) + 4 B - 4 D$

$0 = - 6 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

ステップ 1.3.2.6.1.1.3

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$0 = 4 B + 4 C + 4 B - 4 D$

$0 = - 6 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = 4 B + 4 C + 4 B - 4 D$

$0 = - 6 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

ステップ 1.3.2.6.1.2

$4 B$ と $4 B$ をたし算します。

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$0 = - 6 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$0 = - 6 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$0 = - 6 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$0 = - 6 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

ステップ 1.3.3

$0 = - 6 C$ の $C$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

方程式を $- 6 C = 0$ として書き換えます。

$- 6 C = 0$

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

ステップ 1.3.3.2

$- 6 C = 0$ の各項を $- 6$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.2.1

$- 6 C = 0$ の各項を $- 6$ で割ります。

$\frac{- 6 C}{- 6} = \frac{0}{- 6}$

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

ステップ 1.3.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.2.2.1

$- 6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 6 C}{- 6} = \frac{0}{- 6}$

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

ステップ 1.3.3.2.2.1.2

$C$ を $1$ で割ります。

$C = \frac{0}{- 6}$

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$C = \frac{0}{- 6}$

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$C = \frac{0}{- 6}$

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

ステップ 1.3.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.2.3.1

$0$ を $- 6$ で割ります。

$C = 0$

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$C = 0$

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$C = 0$

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$C = 0$

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

ステップ 1.3.4

各方程式の $C$ のすべての発生を $0$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$ の $C$ のすべての発生を $0$ で置き換えます。

$0 = 8 B + 4 (0) - 4 D$

$C = 0$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

ステップ 1.3.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.2.1

$8 B + 4 (0) - 4 D$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.2.1.1

$4$ に $0$ をかけます。

$0 = 8 B + 0 - 4 D$

$C = 0$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

ステップ 1.3.4.2.1.2

$8 B$ と $0$ をたし算します。

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

ステップ 1.3.4.3

$1 = 4 B + 2 C + D$ の $C$ のすべての発生を $0$ で置き換えます。

$1 = 4 B + 2 (0) + D$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

$A = - B - C$

ステップ 1.3.4.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.4.1

$4 B + 2 (0) + D$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.4.1.1

$2$ に $0$ をかけます。

$1 = 4 B + 0 + D$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

$A = - B - C$

ステップ 1.3.4.4.1.2

$4 B$ と $0$ をたし算します。

$1 = 4 B + D$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

$A = - B - C$

$1 = 4 B + D$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

$A = - B - C$

$1 = 4 B + D$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

$A = - B - C$

ステップ 1.3.4.5

$A = - B - C$ の $C$ のすべての発生を $0$ で置き換えます。

$A = - B - (0)$

$1 = 4 B + D$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

ステップ 1.3.4.6

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.6.1

$- B$ から $0$ を引きます。

$A = - B$

$1 = 4 B + D$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

$A = - B$

$1 = 4 B + D$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

$A = - B$

$1 = 4 B + D$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

ステップ 1.3.5

$1 = 4 B + D$ の $D$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.1

方程式を $4 B + D = 1$ として書き換えます。

$4 B + D = 1$

$A = - B$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

ステップ 1.3.5.2

方程式の両辺から $4 B$ を引きます。

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

ステップ 1.3.6

各方程式の $D$ のすべての発生を $1 - 4 B$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.1

$0 = 8 B - 4 D$ の $D$ のすべての発生を $1 - 4 B$ で置き換えます。

$0 = 8 B - 4 (1 - 4 B)$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

ステップ 1.3.6.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.2.1

$8 B - 4 (1 - 4 B)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$0 = 8 B - 4 \cdot 1 - 4 (- 4 B)$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

ステップ 1.3.6.2.1.1.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$0 = 8 B - 4 - 4 (- 4 B)$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

ステップ 1.3.6.2.1.1.3

$- 4$ に $- 4$ をかけます。

$0 = 8 B - 4 + 16 B$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

$0 = 8 B - 4 + 16 B$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

ステップ 1.3.6.2.1.2

$8 B$ と $16 B$ をたし算します。

$0 = 24 B - 4$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

$0 = 24 B - 4$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

$0 = 24 B - 4$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

$0 = 24 B - 4$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

ステップ 1.3.7

$0 = 24 B - 4$ の $B$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.7.1

方程式を $24 B - 4 = 0$ として書き換えます。

$24 B - 4 = 0$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

ステップ 1.3.7.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$24 B = 4$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

ステップ 1.3.7.3

$24 B = 4$ の各項を $24$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.7.3.1

$24 B = 4$ の各項を $24$ で割ります。

$\frac{24 B}{24} = \frac{4}{24}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

ステップ 1.3.7.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.7.3.2.1

$24$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.7.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{24 B}{24} = \frac{4}{24}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

ステップ 1.3.7.3.2.1.2

$B$ を $1$ で割ります。

$B = \frac{4}{24}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

$B = \frac{4}{24}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

$B = \frac{4}{24}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

ステップ 1.3.7.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.7.3.3.1

$4$ と $24$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.7.3.3.1.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$B = \frac{4 (1)}{24}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

ステップ 1.3.7.3.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.7.3.3.1.2.1

$4$ を $24$ で因数分解します。

$B = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 6}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

ステップ 1.3.7.3.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$B = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 6}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

ステップ 1.3.7.3.3.1.2.3

式を書き換えます。

$B = \frac{1}{6}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

$B = \frac{1}{6}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

$B = \frac{1}{6}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

$B = \frac{1}{6}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

$B = \frac{1}{6}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

$B = \frac{1}{6}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

ステップ 1.3.8

各方程式の $B$ のすべての発生を $\frac{1}{6}$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.8.1

$D = 1 - 4 B$ の $B$ のすべての発生を $\frac{1}{6}$ で置き換えます。

$D = 1 - 4 (\frac{1}{6})$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

ステップ 1.3.8.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.8.2.1

$1 - 4 (\frac{1}{6})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.8.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.8.2.1.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.8.2.1.1.1.1

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$D = 1 + 2 (- 2) (\frac{1}{6})$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

ステップ 1.3.8.2.1.1.1.2

$2$ を $6$ で因数分解します。

$D = 1 + 2 \cdot (- 2 \frac{1}{2 \cdot 3})$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

ステップ 1.3.8.2.1.1.1.3

共通因数を約分します。

$D = 1 + 2 \cdot (- 2 \frac{1}{2 \cdot 3})$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

ステップ 1.3.8.2.1.1.1.4

式を書き換えます。

$D = 1 - 2 (\frac{1}{3})$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

$D = 1 - 2 (\frac{1}{3})$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

ステップ 1.3.8.2.1.1.2

$- 2$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$D = 1 + \frac{- 2}{3}$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

ステップ 1.3.8.2.1.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$D = 1 - \frac{2}{3}$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

$D = 1 - \frac{2}{3}$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

ステップ 1.3.8.2.1.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.8.2.1.2.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$D = \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

ステップ 1.3.8.2.1.2.2

公分母の分子をまとめます。

$D = \frac{3 - 2}{3}$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

ステップ 1.3.8.2.1.2.3

$3$ から $2$ を引きます。

$D = \frac{1}{3}$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

$D = \frac{1}{3}$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

$D = \frac{1}{3}$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

$D = \frac{1}{3}$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

ステップ 1.3.8.3

$A = - B$ の $B$ のすべての発生を $\frac{1}{6}$ で置き換えます。

$A = - (\frac{1}{6})$

$D = \frac{1}{3}$

$B = \frac{1}{6}$

$C = 0$

ステップ 1.3.8.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.8.4.1

$- 1$ に $\frac{1}{6}$ をかけます。

$A = - \frac{1}{6}$

$D = \frac{1}{3}$

$B = \frac{1}{6}$

$C = 0$

$A = - \frac{1}{6}$

$D = \frac{1}{3}$

$B = \frac{1}{6}$

$C = 0$

$A = - \frac{1}{6}$

$D = \frac{1}{3}$

$B = \frac{1}{6}$

$C = 0$

ステップ 1.3.9

すべての解をまとめます。

$A = - \frac{1}{6}, D = \frac{1}{3}, B = \frac{1}{6}, C = 0$

ステップ 1.4

$\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C x + D}{x^{2} + 2}$ の各部分分数の係数を $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、および $D$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{- \frac{1}{6}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{0 x + \frac{1}{3}}{x^{2} + 2}$

ステップ 1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.1

$\frac{0 \cdot x + \frac{1}{3}}{x^{2} + 2}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{- \frac{1}{6}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{3}{3} \cdot \frac{0 \cdot x + \frac{1}{3}}{x^{2} + 2}$

ステップ 1.5.1.2

まとめる。

$\frac{- \frac{1}{6}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{3 (0 \cdot x + \frac{1}{3})}{3 (x^{2} + 2)}$

ステップ 1.5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{- \frac{1}{6}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{3 (0 \cdot x) + 3 (\frac{1}{3})}{3 x^{2} + 3 \cdot 2}$

ステップ 1.5.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{- \frac{1}{6}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{3 (0 \cdot x) + 3 (\frac{1}{3})}{3 x^{2} + 3 \cdot 2}$

ステップ 1.5.3.2

式を書き換えます。

$\frac{- \frac{1}{6}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{3 (0 \cdot x) + 1}{3 x^{2} + 3 \cdot 2}$

ステップ 1.5.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.1

$3$ に $0$ をかけます。

$\frac{- \frac{1}{6}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{0 \cdot x + 1}{3 x^{2} + 3 \cdot 2}$

ステップ 1.5.4.2

$0$ に $x$ をかけます。

$\frac{- \frac{1}{6}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{0 + 1}{3 x^{2} + 3 \cdot 2}$

ステップ 1.5.4.3

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- \frac{1}{6}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{1}{3 x^{2} + 3 \cdot 2}$

ステップ 1.5.5

$3$ を $3 x^{2} + 3 \cdot 2$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.1

$3$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- \frac{1}{6}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{1}{3 (x^{2}) + 3 \cdot 2}$

ステップ 1.5.5.2

$3$ を $3 \cdot 2$ で因数分解します。

$\frac{- \frac{1}{6}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{1}{3 (x^{2}) + 3 (2)}$

ステップ 1.5.5.3

$3$ を $3 (x^{2}) + 3 (2)$ で因数分解します。

$\frac{- \frac{1}{6}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{1}{3 (x^{2} + 2)}$

ステップ 1.5.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$- \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{x + 2} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{1}{3 (x^{2} + 2)}$

ステップ 1.5.7

$\frac{1}{x + 2}$ に $\frac{1}{6}$ をかけます。

$- \frac{1}{(x + 2) \cdot 6} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{1}{3 (x^{2} + 2)}$

ステップ 1.5.8

$6$ を $x + 2$ の左に移動させます。

$- \frac{1}{6 (x + 2)} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{1}{3 (x^{2} + 2)}$

ステップ 1.5.9

分子に分母の逆数を掛けます。

$- \frac{1}{6 (x + 2)} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{3 (x^{2} + 2)}$

ステップ 1.5.10

$\frac{1}{6}$ に $\frac{1}{x - 2}$ をかけます。

$\int - \frac{1}{6 (x + 2)} + \frac{1}{6 (x - 2)} + \frac{1}{3 (x^{2} + 2)} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int - \frac{1}{6 (x + 2)} d x + \int \frac{1}{6 (x - 2)} d x + \int \frac{1}{3 (x^{2} + 2)} d x$

ステップ 3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \frac{1}{6 (x + 2)} d x + \int \frac{1}{6 (x - 2)} d x + \int \frac{1}{3 (x^{2} + 2)} d x$

ステップ 4

$\frac{1}{6}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{6}$ を積分の外に移動させます。

$- (\frac{1}{6} \int \frac{1}{x + 2} d x) + \int \frac{1}{6 (x - 2)} d x + \int \frac{1}{3 (x^{2} + 2)} d x$

ステップ 5

$u_{1} = x + 2$ とします。次に $d u_{1} = d x$ 。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$u_{1} = x + 2$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$x + 2$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

ステップ 5.1.2

総和則では、 $x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 5.1.4

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 5.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 5.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$- \frac{1}{6} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{6 (x - 2)} d x + \int \frac{1}{3 (x^{2} + 2)} d x$

ステップ 6

$\frac{1}{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\ln (| u_{1} |)$ です。

$- \frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{6 (x - 2)} d x + \int \frac{1}{3 (x^{2} + 2)} d x$

ステップ 7

$\frac{1}{6}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{6}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{6} \int \frac{1}{x - 2} d x + \int \frac{1}{3 (x^{2} + 2)} d x$

ステップ 8

$u_{2} = x - 2$ とします。次に $d u_{2} = d x$ 。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$u_{2} = x - 2$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

$x - 2$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

ステップ 8.1.2

総和則では、 $x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 8.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 8.1.4

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 8.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 8.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$- \frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{6} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int \frac{1}{3 (x^{2} + 2)} d x$

ステップ 9

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$- \frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{6} (\ln (| u_{2} |) + C) + \int \frac{1}{3 (x^{2} + 2)} d x$

ステップ 10

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{6} (\ln (| u_{2} |) + C) + \frac{1}{3} \int \frac{1}{x^{2} + 2} d x$

ステップ 11

$x^{2}$ と $2$ を並べ替えます。

$- \frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{6} (\ln (| u_{2} |) + C) + \frac{1}{3} \int \frac{1}{2 + x^{2}} d x$

ステップ 12

$2$ を ${\sqrt{2}}^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{6} (\ln (| u_{2} |) + C) + \frac{1}{3} \int \frac{1}{{\sqrt{2}}^{2} + x^{2}} d x$

ステップ 13

$\frac{1}{{\sqrt{2}}^{2} + x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan (\frac{x}{\sqrt{2}}) + C$ です。

$- \frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{6} (\ln (| u_{2} |) + C) + \frac{1}{3} (\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan (\frac{x}{\sqrt{2}}) + C)$

ステップ 14

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ と $\arctan (\frac{x}{\sqrt{2}})$ をまとめます。

$- \frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{6} (\ln (| u_{2} |) + C) + \frac{1}{3} (\frac{\arctan (\frac{x}{\sqrt{2}})}{\sqrt{2}} + C)$

ステップ 14.2

簡約します。

$- \frac{1}{6} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{6} \ln (| u_{2} |) + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan (\frac{1}{\sqrt{2}} x) + C$

ステップ 14.3

$\frac{1}{3}$ に $\frac{1}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$- \frac{1}{6} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{6} \ln (| u_{2} |) + \frac{1}{3 \sqrt{2}} \arctan (\frac{1}{\sqrt{2}} x) + C$

ステップ 15

各積分に置換変数を戻し入れます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

$u_{1}$ のすべての発生を $x + 2$ で置き換えます。

$- \frac{1}{6} \ln (| x + 2 |) + \frac{1}{6} \ln (| u_{2} |) + \frac{1}{3 \sqrt{2}} \arctan (\frac{1}{\sqrt{2}} x) + C$

ステップ 15.2

$u_{2}$ のすべての発生を $x - 2$ で置き換えます。

$- \frac{1}{6} \ln (| x + 2 |) + \frac{1}{6} \ln (| x - 2 |) + \frac{1}{3 \sqrt{2}} \arctan (\frac{1}{\sqrt{2}} x) + C$

微分積分 例

微分積分例