微分積分例

$\int_{1}^{4} 5 x^{2} + \sqrt{x} d x$

ステップ 1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{1}^{4} 5 x^{2} d x + \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$

ステップ 2

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$5 \int_{1}^{4} x^{2} d x + \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$

ステップ 3

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$5 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$

ステップ 4

分数をまとめます。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$

ステップ 4.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} d x$

ステップ 5

べき乗則では、 $x^{\frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ です。

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$

ステップ 6

代入し簡約します。

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ステップ 6.1

$4$ および $1$ で $\frac{x^{3}}{3}$ の値を求めます。

$5 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$

ステップ 6.2

$4$ および $1$ で $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ の値を求めます。

$5 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 6.3

簡約します。

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ステップ 6.3.1

$4$ を $3$ 乗します。

$5 (\frac{64}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 6.3.2

1のすべての数の累乗は1です。

$5 (\frac{64}{3} - \frac{1}{3}) + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 6.3.3

公分母の分子をまとめます。

$5 \frac{64 - 1}{3} + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 6.3.4

$64$ から $1$ を引きます。

$5 (\frac{63}{3}) + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 6.3.5

$63$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.5.1

$3$ を $63$ で因数分解します。

$5 \frac{3 \cdot 21}{3} + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 6.3.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.5.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$5 \frac{3 \cdot 21}{3 (1)} + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 6.3.5.2.2

共通因数を約分します。

$5 \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 1} + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 6.3.5.2.3

式を書き換えます。

$5 (\frac{21}{1}) + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 6.3.5.2.4

$21$ を $1$ で割ります。

$5 \cdot 21 + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 6.3.6

$5$ に $21$ をかけます。

$105 + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 6.3.7

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$105 + \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 6.3.8

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$105 + \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 6.3.9

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.9.1

共通因数を約分します。

$105 + \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 6.3.9.2

式を書き換えます。

$105 + \frac{2}{3} \cdot 2^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 6.3.10

$2$ を $3$ 乗します。

$105 + \frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 6.3.11

$\frac{2}{3}$ と $8$ をまとめます。

$105 + \frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 6.3.12

$2$ に $8$ をかけます。

$105 + \frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 6.3.13

1のすべての数の累乗は1です。

$105 + \frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

ステップ 6.3.14

$- 1$ に $1$ をかけます。

$105 + \frac{16}{3} - \frac{2}{3}$

ステップ 6.3.15

公分母の分子をまとめます。

$105 + \frac{16 - 2}{3}$

ステップ 6.3.16

$16$ から $2$ を引きます。

$105 + \frac{14}{3}$

ステップ 6.3.17

$105$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$105 \cdot \frac{3}{3} + \frac{14}{3}$

ステップ 6.3.18

$105$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{105 \cdot 3}{3} + \frac{14}{3}$

ステップ 6.3.19

公分母の分子をまとめます。

$\frac{105 \cdot 3 + 14}{3}$

ステップ 6.3.20

分子を簡約します。

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ステップ 6.3.20.1

$105$ に $3$ をかけます。

$\frac{315 + 14}{3}$

ステップ 6.3.20.2

$315$ と $14$ をたし算します。

$\frac{329}{3}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{329}{3}$

10進法形式：

$109.\overline{6}$

帯分数形：

$109 \frac{2}{3}$

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例