微分積分例

$\int_{1}^{7} x \sqrt{4 x^{2} + 9} d x$

ステップ 1

$u = 4 x^{2} + 9$ とします。次に $d u = 8 x d x$ すると、 $\frac{1}{8} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 4 x^{2} + 9$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$4 x^{2} + 9$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $4 x^{2} + 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{2}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $4$ をかけます。

$8 x + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$8 x + 0$

ステップ 1.1.4.2

$8 x$ と $0$ をたし算します。

$8 x$

ステップ 1.2

$u = 4 x^{2} + 9$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 4 \cdot 1^{2} + 9$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$u_{lower} = 4 \cdot 1 + 9$

ステップ 1.3.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$u_{lower} = 4 + 9$

ステップ 1.3.2

$4$ と $9$ をたし算します。

$u_{lower} = 13$

ステップ 1.4

$u = 4 x^{2} + 9$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 4 \cdot 7^{2} + 9$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.5.1.1

$7$ を $2$ 乗します。

$u_{upper} = 4 \cdot 49 + 9$

ステップ 1.5.1.2

$4$ に $49$ をかけます。

$u_{upper} = 196 + 9$

ステップ 1.5.2

$196$ と $9$ をたし算します。

$u_{upper} = 205$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 13$

$u_{upper} = 205$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{13}^{205} \sqrt{u} \frac{1}{8} d u$

ステップ 2

$\sqrt{u}$ と $\frac{1}{8}$ をまとめます。

$\int_{13}^{205} \frac{\sqrt{u}}{8} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{8}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{8}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{8} \int_{13}^{205} \sqrt{u} d u$

ステップ 4

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{8} \int_{13}^{205} u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{1}{8} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{13}^{205}$

ステップ 6

代入し簡約します。

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ステップ 6.1

$205$ および $13$ で $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ の値を求めます。

$\frac{1}{8} ((\frac{2}{3} \cdot 205^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 13^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2

簡約します。

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ステップ 6.2.1

$\frac{2}{3}$ と $205^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{8} (\frac{2 \cdot 205^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 13^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.2

$13^{\frac{3}{2}}$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{8} (\frac{2 \cdot 205^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{13^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3})$

ステップ 6.2.3

$2$ を $13^{\frac{3}{2}}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{8} (\frac{2 \cdot 205^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{8} \cdot \frac{2 \cdot 205^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{1}{8} (- \frac{2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 7.2

まとめる。

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{1}{8} (- \frac{2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 7.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1

$- \frac{2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{1}{8} \cdot \frac{- 2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}}{3}$

ステップ 7.3.2

$2$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{1}{2 (4)} \cdot \frac{- 2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}}{3}$

ステップ 7.3.3

$2$ を $- 2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{1}{2 (4)} \cdot \frac{2 (- 13^{\frac{3}{2}})}{3}$

ステップ 7.3.4

共通因数を約分します。

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 4} \cdot \frac{2 (- 13^{\frac{3}{2}})}{3}$

ステップ 7.3.5

式を書き換えます。

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{1}{4} \cdot \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{3}$

ステップ 7.4

$\frac{1}{4}$ に $\frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{3}$ をかけます。

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{4 \cdot 3}$

ステップ 7.5

$4$ に $3$ をかけます。

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

ステップ 7.6

各項を簡約します。

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ステップ 7.6.1

$2$ を $1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})$ で因数分解します。

$\frac{2 (1 \cdot (205^{\frac{3}{2}}))}{8 \cdot 3} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

ステップ 7.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.6.2.1

$2$ を $8 \cdot 3$ で因数分解します。

$\frac{2 (1 \cdot (205^{\frac{3}{2}}))}{2 (4 \cdot 3)} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

ステップ 7.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (1 \cdot (205^{\frac{3}{2}}))}{2 (4 \cdot 3)} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

ステップ 7.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1 \cdot (205^{\frac{3}{2}})}{4 \cdot 3} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

ステップ 7.6.3

$205^{\frac{3}{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{205^{\frac{3}{2}}}{4 \cdot 3} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

ステップ 7.6.4

$4$ に $3$ をかけます。

$\frac{205^{\frac{3}{2}}}{12} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

ステップ 7.6.5

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{205^{\frac{3}{2}}}{12} - \frac{13^{\frac{3}{2}}}{12}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{205^{\frac{3}{2}}}{12} - \frac{13^{\frac{3}{2}}}{12}$

10進法形式：

$240.69009594 \dots$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例