微分積分例

$\sum_{i = 1}^{7} 2^{i - 1}$

ステップ 1

$a$ が第1項、 $r$ が連続する項の間の比の時、有限等比級数の和は公式 $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ を利用して求められます。

ステップ 2

公式 $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ に代入し簡約することで、連続する項の比を求めます。

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ステップ 2.1

$a_{i}$ と $a_{i + 1}$ を $r$ の公式に代入します。

$r = \frac{2^{i + 1 - 1}}{2^{i - 1}}$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

$2^{i + 1 - 1}$ と $2^{i - 1}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.1

$2^{i - 1}$ を $2^{i + 1 - 1}$ で因数分解します。

$r = \frac{2^{i - 1} \cdot 2^{i + 0 - (i - 1)}}{2^{i - 1}}$

ステップ 2.2.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.2.1

$1$ を掛けます。

$r = \frac{2^{i - 1} \cdot 2^{i + 0 - (i - 1)}}{2^{i - 1} \cdot 1}$

ステップ 2.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$r = \frac{2^{i - 1} \cdot 2^{i + 0 - (i - 1)}}{2^{i - 1} \cdot 1}$

ステップ 2.2.1.2.3

式を書き換えます。

$r = \frac{2^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

ステップ 2.2.1.2.4

$2^{i + 0 - (i - 1)}$ を $1$ で割ります。

$r = 2^{i + 0 - (i - 1)}$

ステップ 2.2.2

$i$ と $0$ をたし算します。

$r = 2^{i - (i - 1)}$

ステップ 2.2.3

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

分配則を当てはめます。

$r = 2^{i - i - - 1}$

ステップ 2.2.3.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$r = 2^{i - i + 1}$

ステップ 2.2.4

$i$ から $i$ を引きます。

$r = 2^{0 + 1}$

ステップ 2.2.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$r = 2^{1}$

ステップ 2.2.6

指数を求めます。

$r = 2$

ステップ 3

下界に代入し簡約することで級数の第1項を求めます。

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ステップ 3.1

$i$ の $1$ を $2^{i - 1}$ に代入します。

$a = 2^{1 - 1}$

ステップ 3.2

簡約します。

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ステップ 3.2.1

$1$ から $1$ を引きます。

$a = 2^{0}$

ステップ 3.2.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$a = 1$

ステップ 4

比、第1項、および項数の値を和の公式に代入します。

$1 \frac{1 - 2^{7}}{1 - 1 \cdot 2}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{1 - 2^{7}}{1 - 1 \cdot 2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 2^{7}}{1 - 1 \cdot 2}$

ステップ 5.2

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$2$ を $7$ 乗します。

$\frac{1 - 1 \cdot 128}{1 - 1 \cdot 2}$

ステップ 5.2.2

$- 1$ に $128$ をかけます。

$\frac{1 - 128}{1 - 1 \cdot 2}$

ステップ 5.2.3

$1$ から $128$ を引きます。

$\frac{- 127}{1 - 1 \cdot 2}$

ステップ 5.3

分母を簡約します。

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ステップ 5.3.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 127}{1 - 2}$

ステップ 5.3.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{- 127}{- 1}$

ステップ 5.4

$- 127$ を $- 1$ で割ります。

$127$

微分積分 例

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