微分積分例

$e^{x}$

ステップ 1

微分係数の極限定義を考えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

ステップ 2

決定成分を求めます。

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ステップ 2.1

$x = x + h$ で関数値を求めます。

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ステップ 2.1.1

式の変数 $x$ を $x + h$ で置換えます。

$f (x + h) = e^{x + h}$

ステップ 2.1.2

最終的な答えは $e^{x + h}$ です。

$e^{x + h}$

ステップ 2.2

決定成分を求めます。

$f (x + h) = e^{x + h}$

$f (x) = e^{x}$

$f (x + h) = e^{x + h}$

$f (x) = e^{x}$

ステップ 3

成分に代入します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} - (e^{x})}{h}$

ステップ 4

$- 1$ に $e^{x}$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} - e^{x}}{h}$

ステップ 5

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 5.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 5.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{h \to 0} e^{x + h} - e^{x}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 5.1.2.1

極限を求めます。

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ステップ 5.1.2.1.1

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{h \to 0} e^{x + h} - lim_{h \to 0} e^{x}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.1.2

指数に極限を移動させます。

$\frac{e^{lim_{h \to 0} x + h} - lim_{h \to 0} e^{x}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.1.3

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{e^{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} e^{x}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.1.4

$h$ が $0$ に近づくと定数である $x$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{x + lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} e^{x}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.1.5

$h$ が $0$ に近づくと定数である $e^{x}$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{x + lim_{h \to 0} h} - e^{x}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.2

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{x + 0} - e^{x}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.3

$e^{x + 0} - e^{x}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.1.2.3.1

$x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{e^{x} - e^{x}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.3.2

$e^{x}$ から $e^{x}$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.3

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 5.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 5.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} - e^{x}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [e^{x + h} - e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 5.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [e^{x + h} - e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.2

総和則では、 $e^{x + h} - e^{x}$ の $h$ に関する積分は $\frac{d}{d h} [e^{x + h}] + \frac{d}{d h} [- e^{x}]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [e^{x + h}] + \frac{d}{d h} [- e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3

$\frac{d}{d h} [e^{x + h}]$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.3.1

$f (h) = e^{h}$ および $g (h) = x + h$ のとき、 $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ は $f' (g (h)) g' (h)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 5.3.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + h$ とします。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{u} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.1.3

$u$ のすべての発生を $x + h$ で置き換えます。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.2

総和則では、 $x + h$ の $h$ に関する積分は $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.3

$x$ は $h$ について定数なので、 $h$ について $x$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.6

$e^{x + h}$ に $1$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} + \frac{d}{d h} [- e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.4

$- e^{x}$ は $h$ について定数なので、 $h$ について $- e^{x}$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.5

$e^{x + h}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h}}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h}}{1}$

ステップ 5.4

$e^{x + h}$ を $1$ で割ります。

$lim_{h \to 0} e^{x + h}$

ステップ 6

極限を求めます。

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ステップ 6.1

指数に極限を移動させます。

$e^{lim_{h \to 0} x + h}$

ステップ 6.2

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$e^{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h}$

ステップ 6.3

$h$ が $0$ に近づくと定数である $x$ の極限値を求めます。

$e^{x + lim_{h \to 0} h}$

ステップ 7

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$e^{x + 0}$

ステップ 8

$x$ と $0$ をたし算します。

$e^{x}$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例