微分積分例

$x = \tan (y)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (\tan (y))$

ステップ 2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.1.2

$u$ に関する $\tan (u)$ の微分係数は $\sec^{2} (u)$ です。

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$\sec^{2} (y) \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\sec^{2} (y) y'$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$1 = \sec^{2} (y) y'$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式を $\sec^{2} (y) y' = 1$ として書き換えます。

$\sec^{2} (y) y' = 1$

ステップ 5.2

$\sec^{2} (y) y' = 1$ の各項を $\sec^{2} (y)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.1

$\sec^{2} (y) y' = 1$ の各項を $\sec^{2} (y)$ で割ります。

$\frac{\sec^{2} (y) y'}{\sec^{2} (y)} = \frac{1}{\sec^{2} (y)}$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$\sec^{2} (y)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sec^{2} (y) y'}{\sec^{2} (y)} = \frac{1}{\sec^{2} (y)}$

ステップ 5.2.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{1}{\sec^{2} (y)}$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$y' = \frac{1^{2}}{\sec^{2} (y)}$

ステップ 5.2.3.2

$\frac{1^{2}}{\sec^{2} (y)}$ を ${(\frac{1}{\sec (y)})}^{2}$ に書き換えます。

$y' = {(\frac{1}{\sec (y)})}^{2}$

ステップ 5.2.3.3

正弦と余弦に関して $\sec (y)$ を書き換えます。

$y' = {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}})}^{2}$

ステップ 5.2.3.4

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\cos (y)}$ で割ります。

$y' = {(1 \cos (y))}^{2}$

ステップ 5.2.3.5

$\cos (y)$ に $1$ をかけます。

$y' = \cos^{2} (y)$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \cos^{2} (y)$

ステップ 7

$\frac{d y}{d x} = 0$ とし、次に $y$ について $x$ を解きます。

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ステップ 7.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (y) = \pm \sqrt{0}$

ステップ 7.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$\cos (y) = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 7.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\cos (y) = \pm 0$

ステップ 7.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$\cos (y) = 0$

ステップ 7.3

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $y$ を取り出します。

$y = \arccos (0)$

ステップ 7.4

右辺を簡約します。

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ステップ 7.4.1

$\arccos (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$y = \frac{π}{2}$

ステップ 7.5

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$y = 2 π - \frac{π}{2}$

ステップ 7.6

$2 π - \frac{π}{2}$ を簡約します。

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ステップ 7.6.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 7.6.2

分数をまとめます。

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ステップ 7.6.2.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 7.6.2.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 7.6.3

分子を簡約します。

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ステップ 7.6.3.1

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{4 π - π}{2}$

ステップ 7.6.3.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$y = \frac{3 π}{2}$

ステップ 7.7

$\cos (y)$ の周期を求めます。

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ステップ 7.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 7.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 7.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 7.7.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 7.8

$\cos (y)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$y = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7.9

答えをまとめます。

$y = \frac{π}{2} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8

$y$ について解きます。

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ステップ 8.1

方程式を $\tan (y) = \frac{π}{2} + π n$ として書き換えます。

$\tan (y) = \frac{π}{2} + π n$

ステップ 8.2

$\frac{π}{2}$ と $π n$ を並べ替えます。

$\tan (y) = π n + \frac{π}{2}$

ステップ 8.3

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $y$ を取り出します。

$y = \arctan (π n + \frac{π}{2})$

ステップ 9

Solve for $x$ when $y$ is $\arctan (π n + \frac{π}{2})$ .

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ステップ 9.1

括弧を削除します。

$\arctan (π n + \frac{π}{2}) = \frac{π}{2} + π n$

ステップ 9.2

方程式の各辺をグラフにします。解は交点のx値です。

$n = - \frac{1}{2}$

ステップ 10

$\frac{d y}{d x} = 0$ である点を求めます。

$(- \frac{1}{2}, \arctan (π n + \frac{π}{2}))$

ステップ 11

微分積分 例

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