微分積分例

$f (x) = x^{3} + 6 x^{2} - 15 x$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x^{3} + 6 x^{2} - 15 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

ステップ 1.1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x^{2}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

ステップ 1.1.2.3

$2$ に $6$ をかけます。

$3 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 15 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 15$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 15 x$ の微分係数は $- 15 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 x^{2} + 12 x - 15 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + 12 x - 15 \cdot 1$

ステップ 1.1.3.3

$- 15$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 3 x^{2} + 12 x - 15$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 x^{2} + 12 x - 15$ です。

$3 x^{2} + 12 x - 15$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} + 12 x - 15 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$3 x^{2} + 12 x - 15 = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$3$ を $3 x^{2} + 12 x - 15$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1.1

$3$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$3 (x^{2}) + 12 x - 15 = 0$

ステップ 2.2.1.2

$3$ を $12 x$ で因数分解します。

$3 (x^{2}) + 3 (4 x) - 15 = 0$

ステップ 2.2.1.3

$3$ を $- 15$ で因数分解します。

$3 x^{2} + 3 (4 x) + 3 \cdot - 5 = 0$

ステップ 2.2.1.4

$3$ を $3 x^{2} + 3 (4 x)$ で因数分解します。

$3 (x^{2} + 4 x) + 3 \cdot - 5 = 0$

ステップ 2.2.1.5

$3$ を $3 (x^{2} + 4 x) + 3 \cdot - 5$ で因数分解します。

$3 (x^{2} + 4 x - 5) = 0$

ステップ 2.2.2

因数分解。

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ステップ 2.2.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + 4 x - 5$ を因数分解します。

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ステップ 2.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 5$ で、その和が $4$ です。

$- 1, 5$

ステップ 2.2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$3 ((x - 1) (x + 5)) = 0$

ステップ 2.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$3 (x - 1) (x + 5) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 1 = 0$

$x + 5 = 0$

ステップ 2.4

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 2.5

$x + 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x + 5$ が $0$ に等しいとします。

$x + 5 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$x = - 5$

ステップ 2.6

最終解は $3 (x - 1) (x + 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 1, - 5$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x^{3} + 6 x^{2} - 15 x$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 1$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$1$ を $x$ に代入します。

${(1)}^{3} + 6 {(1)}^{2} - 15 \cdot 1$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + 6 {(1)}^{2} - 15 \cdot 1$

ステップ 4.1.2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + 6 \cdot 1 - 15 \cdot 1$

ステップ 4.1.2.1.3

$6$ に $1$ をかけます。

$1 + 6 - 15 \cdot 1$

ステップ 4.1.2.1.4

$- 15$ に $1$ をかけます。

$1 + 6 - 15$

ステップ 4.1.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.1.2.2.1

$1$ と $6$ をたし算します。

$7 - 15$

ステップ 4.1.2.2.2

$7$ から $15$ を引きます。

$- 8$

ステップ 4.2

$x = - 5$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$- 5$ を $x$ に代入します。

${(- 5)}^{3} + 6 {(- 5)}^{2} - 15 \cdot - 5$

ステップ 4.2.2

簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1.1

$- 5$ を $3$ 乗します。

$- 125 + 6 {(- 5)}^{2} - 15 \cdot - 5$

ステップ 4.2.2.1.2

$- 5$ を $2$ 乗します。

$- 125 + 6 \cdot 25 - 15 \cdot - 5$

ステップ 4.2.2.1.3

$6$ に $25$ をかけます。

$- 125 + 150 - 15 \cdot - 5$

ステップ 4.2.2.1.4

$- 15$ に $- 5$ をかけます。

$- 125 + 150 + 75$

ステップ 4.2.2.2

数を加えて簡約します。

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ステップ 4.2.2.2.1

$- 125$ と $150$ をたし算します。

$25 + 75$

ステップ 4.2.2.2.2

$25$ と $75$ をたし算します。

$100$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(1, - 8), (- 5, 100)$

ステップ 5

微分積分 例

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