微分積分例

$f (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 1 - 20 x + 5 x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 - 20 x + 5 x^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [1 - 20 x + 5 x^{2}]$

ステップ 1.1.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u} \frac{d}{d x} [1 - 20 x + 5 x^{2}]$

ステップ 1.1.1.3

$u$ のすべての発生を $1 - 20 x + 5 x^{2}$ で置き換えます。

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} \frac{d}{d x} [1 - 20 x + 5 x^{2}]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $1 - 20 x + 5 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ です。

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

ステップ 1.1.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

ステップ 1.1.2.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- 20 x]$ をたし算します。

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (\frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

ステップ 1.1.2.4

$- 20$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 20 x$ の微分係数は $- 20 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

ステップ 1.1.2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

ステップ 1.1.2.6

$- 20$ に $1$ をかけます。

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

ステップ 1.1.2.7

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{2}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 1.1.2.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 5 (2 x))$

ステップ 1.1.2.9

$2$ に $5$ をかけます。

$f' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x)$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x)$ です。

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x)$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x) = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} = 0$

$- 20 + 10 x = 0$

ステップ 2.3

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} = 0$

ステップ 2.3.2

$x$ について $e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}) = \ln (0)$

ステップ 2.3.2.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 2.3.2.3

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 2.4

$- 20 + 10 x$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$- 20 + 10 x$ が $0$ に等しいとします。

$- 20 + 10 x = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $- 20 + 10 x = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺に $20$ を足します。

$10 x = 20$

ステップ 2.4.2.2

$10 x = 20$ の各項を $10$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.1

$10 x = 20$ の各項を $10$ で割ります。

$\frac{10 x}{10} = \frac{20}{10}$

ステップ 2.4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.2.1

$10$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{10 x}{10} = \frac{20}{10}$

ステップ 2.4.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{20}{10}$

ステップ 2.4.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.3.1

$20$ を $10$ で割ります。

$x = 2$

ステップ 2.5

最終解は $e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 2$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$2$ を $x$ に代入します。

$e^{1 - 20 \cdot 2 + 5 {(2)}^{2}}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

$- 20$ に $2$ をかけます。

$e^{1 - 40 + 5 {(2)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$e^{1 - 40 + 5 \cdot 4}$

ステップ 4.1.2.1.3

$5$ に $4$ をかけます。

$e^{1 - 40 + 20}$

ステップ 4.1.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.1.2.2.1

$1$ から $40$ を引きます。

$e^{- 39 + 20}$

ステップ 4.1.2.2.2

$- 39$ と $20$ をたし算します。

$e^{- 19}$

ステップ 4.1.2.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{e^{19}}$

ステップ 4.2

点のすべてを一覧にします。

$(2, \frac{1}{e^{19}})$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例