微分積分例

$f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $3 x^{4} - 4 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{4}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

ステップ 1.1.2.3

$4$ に $3$ をかけます。

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x^{3}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$12 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 x^{3} - 4 (3 x^{2})$

ステップ 1.1.3.3

$3$ に $- 4$ をかけます。

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $12 x^{3} - 12 x^{2}$ です。

$12 x^{3} - 12 x^{2}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $12 x^{3} - 12 x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$12 x^{3} - 12 x^{2} = 0$

ステップ 2.2

$12 x^{2}$ を $12 x^{3} - 12 x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$12 x^{2}$ を $12 x^{3}$ で因数分解します。

$12 x^{2} (x) - 12 x^{2} = 0$

ステップ 2.2.2

$12 x^{2}$ を $- 12 x^{2}$ で因数分解します。

$12 x^{2} (x) + 12 x^{2} (- 1) = 0$

ステップ 2.2.3

$12 x^{2}$ を $12 x^{2} (x) + 12 x^{2} (- 1)$ で因数分解します。

$12 x^{2} (x - 1) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 2.4

$x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 2.4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 2.4.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 2.4.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 2.5

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 2.6

最終解は $12 x^{2} (x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 1$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $3 x^{4} - 4 x^{3}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$3 {(0)}^{4} - 4 {(0)}^{3}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$3 \cdot 0 - 4 {(0)}^{3}$

ステップ 4.1.2.1.2

$3$ に $0$ をかけます。

$0 - 4 {(0)}^{3}$

ステップ 4.1.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - 4 \cdot 0$

ステップ 4.1.2.1.4

$- 4$ に $0$ をかけます。

$0 + 0$

ステップ 4.1.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0$

ステップ 4.2

$x = 1$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$1$ を $x$ に代入します。

$3 {(1)}^{4} - 4 {(1)}^{3}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$3 \cdot 1 - 4 {(1)}^{3}$

ステップ 4.2.2.1.2

$3$ に $1$ をかけます。

$3 - 4 {(1)}^{3}$

ステップ 4.2.2.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$3 - 4 \cdot 1$

ステップ 4.2.2.1.4

$- 4$ に $1$ をかけます。

$3 - 4$

ステップ 4.2.2.2

$3$ から $4$ を引きます。

$- 1$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(0, 0), (1, - 1)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例