微分積分 例

極大値と極小値を求める f(x)=x^4-4x^3+10
ステップ 1
関数の一次導関数を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.1
微分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.1.1
総和則では、に関する積分はです。
ステップ 1.1.2
のとき、であるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 1.2
の値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.2.1
に対して定数なので、に対するの微分係数はです。
ステップ 1.2.2
のとき、であるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 1.2.3
をかけます。
ステップ 1.3
定数の規則を使って微分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.3.1
について定数なので、についての微分係数はです。
ステップ 1.3.2
をたし算します。
ステップ 2
関数の二次導関数を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.1
総和則では、に関する積分はです。
ステップ 2.2
の値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.2.1
に対して定数なので、に対するの微分係数はです。
ステップ 2.2.2
のとき、であるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 2.2.3
をかけます。
ステップ 2.3
の値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.3.1
に対して定数なので、に対するの微分係数はです。
ステップ 2.3.2
のとき、であるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 2.3.3
をかけます。
ステップ 3
微分係数をと等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。
ステップ 4
一次導関数を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.1
一次導関数を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.1.1
微分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.1.1.1
総和則では、に関する積分はです。
ステップ 4.1.1.2
のとき、であるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 4.1.2
の値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.1.2.1
に対して定数なので、に対するの微分係数はです。
ステップ 4.1.2.2
のとき、であるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 4.1.2.3
をかけます。
ステップ 4.1.3
定数の規則を使って微分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.1.3.1
について定数なので、についての微分係数はです。
ステップ 4.1.3.2
をたし算します。
ステップ 4.2
に関するの一次導関数はです。
ステップ 5
一次導関数をと等しくし、次に方程式を解きます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.1
一次導関数をに等しくします。
ステップ 5.2
で因数分解します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.2.1
で因数分解します。
ステップ 5.2.2
で因数分解します。
ステップ 5.2.3
で因数分解します。
ステップ 5.3
方程式の左辺の個々の因数がと等しいならば、式全体はと等しくなります。
ステップ 5.4
に等しくし、を解きます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.4.1
に等しいとします。
ステップ 5.4.2
についてを解きます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.4.2.1
方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。
ステップ 5.4.2.2
を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.4.2.2.1
に書き換えます。
ステップ 5.4.2.2.2
正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。
ステップ 5.4.2.2.3
プラスマイナスです。
ステップ 5.5
に等しくし、を解きます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.5.1
に等しいとします。
ステップ 5.5.2
方程式の両辺にを足します。
ステップ 5.6
最終解はを真にするすべての値です。
ステップ 6
微分係数が未定義になる値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.1
式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。
ステップ 7
値を求める臨界点です。
ステップ 8
で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。
ステップ 9
二次導関数の値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 9.1
各項を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 9.1.1
を正数乗し、を得ます。
ステップ 9.1.2
をかけます。
ステップ 9.1.3
をかけます。
ステップ 9.2
をたし算します。
ステップ 10
をもつ点が1点以上または未定義の二次導関数があるので、一次導関数検定を当てはめます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 10.1
一次導関数または未定義になる値の周囲で、を分離区間に分割します。
ステップ 10.2
一次導関数の区間からなどの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 10.2.1
式の変数で置換えます。
ステップ 10.2.2
結果を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 10.2.2.1
各項を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 10.2.2.1.1
乗します。
ステップ 10.2.2.1.2
をかけます。
ステップ 10.2.2.1.3
乗します。
ステップ 10.2.2.1.4
をかけます。
ステップ 10.2.2.2
からを引きます。
ステップ 10.2.2.3
最終的な答えはです。
ステップ 10.3
一次導関数の区間からなどの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 10.3.1
式の変数で置換えます。
ステップ 10.3.2
結果を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 10.3.2.1
各項を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 10.3.2.1.1
乗します。
ステップ 10.3.2.1.2
をかけます。
ステップ 10.3.2.1.3
乗します。
ステップ 10.3.2.1.4
をかけます。
ステップ 10.3.2.2
からを引きます。
ステップ 10.3.2.3
最終的な答えはです。
ステップ 10.4
一次導関数の区間からなどの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 10.4.1
式の変数で置換えます。
ステップ 10.4.2
結果を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 10.4.2.1
各項を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 10.4.2.1.1
乗します。
ステップ 10.4.2.1.2
をかけます。
ステップ 10.4.2.1.3
乗します。
ステップ 10.4.2.1.4
をかけます。
ステップ 10.4.2.2
からを引きます。
ステップ 10.4.2.3
最終的な答えはです。
ステップ 10.5
の周囲で一次導関数の符号が変化しなかったので、これは極大値または極小値ではありません。
極大値または極小値ではありません
ステップ 10.6
の周囲で一次導関数の符号が負から正に変化したので、は極小値です。
は極小値です
は極小値です
ステップ 11