微分積分例

$y = \frac{x}{x^{2} + 25}$

ステップ 1

$y = \frac{x}{x^{2} + 25}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 25}$

ステップ 2

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (x) = x$ および $g (x) = x^{2} + 25$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 25]}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 2.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} + 25) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 25]}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 2.2.2

$x^{2} + 25$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 25 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 25]}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 2.2.3

総和則では、 $x^{2} + 25$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ です。

$\frac{x^{2} + 25 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 2.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2} + 25 - x (2 x + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 2.2.5

$25$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $25$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x^{2} + 25 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 2.2.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.6.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{2} + 25 - x (2 x)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 2.2.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 25 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 2.3

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{2} + 25 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 2.4

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{2} + 25 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 2.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{2} + 25 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 2.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{x^{2} + 25 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 2.7

$x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$\frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 3

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$f (x) = - x^{2} + 25$ および $g (x) = {(x^{2} + 25)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 25) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

${({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 25) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{2 \cdot 2}}$

ステップ 3.2.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 25) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.2.2

総和則では、 $- x^{2} + 25$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (25)) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.2.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (25)) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- (2 x) + \frac{d}{d x} (25)) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.2.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x + \frac{d}{d x} (25)) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.2.6

$25$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $25$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x + 0) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.2.7

$- 2 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.3

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{2} + 25$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 25$ とします。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 25) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 25) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 25$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 25) (2 (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.4.2

総和則では、 $x^{2} + 25$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (25)))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.4.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) (2 x + \frac{d}{d x} (25)))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.4.4

$25$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $25$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.4.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.5.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) (2 x))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.4.5.2

$2$ を $x^{2} + 25$ の左に移動させます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) (2 \cdot ((x^{2} + 25) x))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.4.5.3

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 4 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) ((x^{2} + 25) x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.5.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.5.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{- 2 {(x^{2} + 25)}^{2} x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.5.3.1.2

${(x^{2} + 25)}^{2}$ を $(x^{2} + 25) (x^{2} + 25)$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{- 2 ((x^{2} + 25) (x^{2} + 25)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.5.3.1.3

分配法則（FOIL法）を使って $(x^{2} + 25) (x^{2} + 25)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.1.3.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} (x^{2} + 25) + 25 (x^{2} + 25)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.5.3.1.3.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 25 + 25 (x^{2} + 25)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.5.3.1.3.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 25 + 25 x^{2} + 25 \cdot 25) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.5.3.1.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.1.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.1.4.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.1.4.1.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 25 + 25 x^{2} + 25 \cdot 25) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.5.3.1.4.1.1.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} \cdot 25 + 25 x^{2} + 25 \cdot 25) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.5.3.1.4.1.2

$25$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 25 \cdot x^{2} + 25 x^{2} + 25 \cdot 25) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.5.3.1.4.1.3

$25$ に $25$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 25 x^{2} + 25 x^{2} + 625) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.5.3.1.4.2

$25 x^{2}$ と $25 x^{2}$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 50 x^{2} + 625) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.5.3.1.5

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 2 (50 x^{2}) - 2 \cdot 625) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.5.3.1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.1.6.1

$50$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 100 x^{2} - 2 \cdot 625) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.5.3.1.6.2

$- 2$ に $625$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 100 x^{2} - 1250) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.5.3.1.7

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{4} x - 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.5.3.1.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.1.8.1

指数を足して $x^{4}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.1.8.1.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.5.3.1.8.1.2

$x$ に $x^{4}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.1.8.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.5.3.1.8.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 4} - 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.5.3.1.8.1.3

$1$ と $4$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.5.3.1.8.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.1.8.2.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 (x \cdot x^{2}) - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.5.3.1.8.2.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.1.8.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 (x \cdot x^{2}) - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.5.3.1.8.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{1 + 2} - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.5.3.1.8.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.5.3.1.9

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.1.9.1

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.5.3.1.9.2

$- 4$ に $25$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} - 100) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.5.3.1.10

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.1.10.1

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.1.10.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} - 100) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.5.3.1.10.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} - 100) (x^{2 + 1} + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.5.3.1.10.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} - 100) (x^{3} + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.5.3.1.11

分配法則（FOIL法）を使って $(4 x^{2} - 100) (x^{3} + 25 x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.1.11.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{2} (x^{3} + 25 x) - 100 (x^{3} + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.5.3.1.11.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (25 x) - 100 (x^{3} + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.5.3.1.11.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (25 x) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.5.3.1.12

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.1.12.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.1.12.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.1.12.1.1.1

$x^{3}$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} (25 x) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.5.3.1.12.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{3 + 2} + 4 x^{2} (25 x) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.5.3.1.12.1.1.3

$3$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 x^{2} (25 x) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.5.3.1.12.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (25 x^{2} x) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.5.3.1.12.1.3

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.1.12.1.3.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (25 (x \cdot x^{2})) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.5.3.1.12.1.3.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.1.12.1.3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (25 (x \cdot x^{2})) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.5.3.1.12.1.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (25 x^{1 + 2}) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.5.3.1.12.1.3.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (25 x^{3}) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.5.3.1.12.1.4

$4$ に $25$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 100 x^{3} - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.5.3.1.12.1.5

$25$ に $- 100$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 100 x^{3} - 100 x^{3} - 2500 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.5.3.1.12.2

$100 x^{3}$ から $100 x^{3}$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 0 - 2500 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.5.3.1.12.3

$4 x^{5}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} - 2500 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.5.3.2

$- 2 x^{5}$ と $4 x^{5}$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x - 2500 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.5.3.3

$- 1250 x$ から $2500 x$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 100 x^{3} - 3750 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.5.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.1

$2 x$ を $2 x^{5} - 100 x^{3} - 3750 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.1.1

$2 x$ を $2 x^{5}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) - 100 x^{3} - 3750 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.5.4.1.2

$2 x$ を $- 100 x^{3}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 50 x^{2}) - 3750 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.5.4.1.3

$2 x$ を $- 3750 x$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 50 x^{2}) + 2 x (- 1875)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.5.4.1.4

$2 x$ を $2 x (x^{4}) + 2 x (- 50 x^{2})$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 50 x^{2}) + 2 x (- 1875)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.5.4.1.5

$2 x$ を $2 x (x^{4} - 50 x^{2}) + 2 x (- 1875)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 50 x^{2} - 1875)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.5.4.2

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 50 x^{2} - 1875)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.5.4.3

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$f'' (x) = \frac{2 x (u^{2} - 50 u - 1875)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.5.4.4

たすき掛けを利用して $u^{2} - 50 u - 1875$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.4.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 1875$ で、その和が $- 50$ です。

$- 75, 25$

ステップ 3.5.4.4.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$f'' (x) = \frac{2 x ((u - 75) (u + 25))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.5.4.5

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 75) (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.5.5

$x^{2} + 25$ と ${(x^{2} + 25)}^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.5.1

$x^{2} + 25$ を $2 x (x^{2} - 75) (x^{2} + 25)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 25) (2 x (x^{2} - 75))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 3.5.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.5.2.1

$x^{2} + 25$ を ${(x^{2} + 25)}^{4}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 25) (2 x (x^{2} - 75))}{(x^{2} + 25) {(x^{2} + 25)}^{3}}$

ステップ 3.5.5.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 25) (2 x (x^{2} - 75))}{(x^{2} + 25) {(x^{2} + 25)}^{3}}$

ステップ 3.5.5.2.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 75)}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{2}} = 0$

ステップ 5

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 25) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 5.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 25) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 5.1.2.2

$x^{2} + 25$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 5.1.2.3

総和則では、 $x^{2} + 25$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ です。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (25))}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 5.1.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - x (2 x + \frac{d}{d x} (25))}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 5.1.2.5

$25$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $25$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 5.1.2.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.6.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - x (2 x)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 5.1.2.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 5.1.3

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 5.1.4

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 5.1.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 5.1.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 5.1.7

$x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 5.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$ です。

$\frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 6

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{2}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{2}} = 0$

ステップ 6.2

分子を0に等しくします。

$- x^{2} + 25 = 0$

ステップ 6.3

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

方程式の両辺から $25$ を引きます。

$- x^{2} = - 25$

ステップ 6.3.2

$- x^{2} = - 25$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

$- x^{2} = - 25$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 25}{- 1}$

ステップ 6.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 25}{- 1}$

ステップ 6.3.2.2.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 25}{- 1}$

ステップ 6.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.3.1

$- 25$ を $- 1$ で割ります。

$x^{2} = 25$

ステップ 6.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{25}$

ステップ 6.3.4

$\pm \sqrt{25}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.4.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

ステップ 6.3.4.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 5$

ステップ 6.3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 5$

ステップ 6.3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 5$

ステップ 6.3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 5, - 5$

ステップ 7

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 8

値を求める臨界点です。

$x = 5, - 5$

ステップ 9

$x = 5$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{2 (5) ({(5)}^{2} - 75)}{{({(5)}^{2} + 25)}^{3}}$

ステップ 10

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$2$ に $5$ をかけます。

$\frac{10 (5^{2} - 75)}{{(5^{2} + 25)}^{3}}$

ステップ 10.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

$5$ を $2$ 乗します。

$\frac{10 (5^{2} - 75)}{{(25 + 25)}^{3}}$

ステップ 10.2.2

$25$ と $25$ をたし算します。

$\frac{10 (5^{2} - 75)}{50^{3}}$

ステップ 10.2.3

$50$ を $3$ 乗します。

$\frac{10 (5^{2} - 75)}{125000}$

ステップ 10.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1

$5$ を $2$ 乗します。

$\frac{10 (25 - 75)}{125000}$

ステップ 10.3.2

$25$ から $75$ を引きます。

$\frac{10 \cdot - 50}{125000}$

ステップ 10.4

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.1

$10$ に $- 50$ をかけます。

$\frac{- 500}{125000}$

ステップ 10.4.2

$- 500$ と $125000$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.1

$500$ を $- 500$ で因数分解します。

$\frac{500 (- 1)}{125000}$

ステップ 10.4.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.2.1

$500$ を $125000$ で因数分解します。

$\frac{500 \cdot - 1}{500 \cdot 250}$

ステップ 10.4.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{500 \cdot - 1}{500 \cdot 250}$

ステップ 10.4.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 1}{250}$

ステップ 10.4.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{250}$

ステップ 11

$x = 5$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 5$ は極大値です

ステップ 12

$x = 5$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

式の変数 $x$ を $5$ で置換えます。

$f (5) = \frac{5}{{(5)}^{2} + 25}$

ステップ 12.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.1

$5$ を $2$ 乗します。

$f (5) = \frac{5}{25 + 25}$

ステップ 12.2.1.2

$25$ と $25$ をたし算します。

$f (5) = \frac{5}{50}$

ステップ 12.2.2

$5$ と $50$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.2.1

$5$ を $5$ で因数分解します。

$f (5) = \frac{5 (1)}{50}$

ステップ 12.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.2.2.1

$5$ を $50$ で因数分解します。

$f (5) = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 10}$

ステップ 12.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$f (5) = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 10}$

ステップ 12.2.2.2.3

式を書き換えます。

$f (5) = \frac{1}{10}$

ステップ 12.2.3

最終的な答えは $\frac{1}{10}$ です。

$y = \frac{1}{10}$

ステップ 13

$x = - 5$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{2 (- 5) ({(- 5)}^{2} - 75)}{{({(- 5)}^{2} + 25)}^{3}}$

ステップ 14

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

$2$ に $- 5$ をかけます。

$\frac{- 10 ({(- 5)}^{2} - 75)}{{({(- 5)}^{2} + 25)}^{3}}$

ステップ 14.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.1

$- 5$ を $2$ 乗します。

$\frac{- 10 ({(- 5)}^{2} - 75)}{{(25 + 25)}^{3}}$

ステップ 14.2.2

$25$ と $25$ をたし算します。

$\frac{- 10 ({(- 5)}^{2} - 75)}{50^{3}}$

ステップ 14.2.3

$50$ を $3$ 乗します。

$\frac{- 10 ({(- 5)}^{2} - 75)}{125000}$

ステップ 14.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.3.1

$- 5$ を $2$ 乗します。

$\frac{- 10 (25 - 75)}{125000}$

ステップ 14.3.2

$25$ から $75$ を引きます。

$\frac{- 10 \cdot - 50}{125000}$

ステップ 14.4

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.1

$- 10$ に $- 50$ をかけます。

$\frac{500}{125000}$

ステップ 14.4.2

$500$ と $125000$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.2.1

$500$ を $500$ で因数分解します。

$\frac{500 (1)}{125000}$

ステップ 14.4.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.2.2.1

$500$ を $125000$ で因数分解します。

$\frac{500 \cdot 1}{500 \cdot 250}$

ステップ 14.4.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{500 \cdot 1}{500 \cdot 250}$

ステップ 14.4.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{250}$

ステップ 15

$x = - 5$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - 5$ は極小値です

ステップ 16

$x = - 5$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

式の変数 $x$ を $- 5$ で置換えます。

$f (- 5) = \frac{- 5}{{(- 5)}^{2} + 25}$

ステップ 16.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1.1

$- 5$ を $2$ 乗します。

$f (- 5) = \frac{- 5}{25 + 25}$

ステップ 16.2.1.2

$25$ と $25$ をたし算します。

$f (- 5) = \frac{- 5}{50}$

ステップ 16.2.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 16.2.2.1

$- 5$ と $50$ の共通因数を約分します。

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ステップ 16.2.2.1.1

$5$ を $- 5$ で因数分解します。

$f (- 5) = \frac{5 (- 1)}{50}$

ステップ 16.2.2.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 16.2.2.1.2.1

$5$ を $50$ で因数分解します。

$f (- 5) = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 10}$

ステップ 16.2.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$f (- 5) = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 10}$

ステップ 16.2.2.1.2.3

式を書き換えます。

$f (- 5) = \frac{- 1}{10}$

ステップ 16.2.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f (- 5) = - \frac{1}{10}$

ステップ 16.2.3

最終的な答えは $- \frac{1}{10}$ です。

$y = - \frac{1}{10}$

ステップ 17

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 25}$ の極値です。

$(5, \frac{1}{10})$ は極大値です

$(- 5, - \frac{1}{10})$ は極小値です

ステップ 18

微分積分 例

微分積分例