微分積分例

$f (x) = \sin^{2} (x) + \cos (x)$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $\sin^{2} (x) + \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\sin (x)$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 1.2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 1.2.1.3

$u$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 1.2.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$2 \sin (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 1.3

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

項を並べ替えます。

$2 \cos (x) \sin (x) - \sin (x)$

ステップ 1.4.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

$2 \cos (x)$ と $\sin (x)$ を並べ替えます。

$\sin (x) (2 \cos (x)) - \sin (x)$

ステップ 1.4.2.2

$\sin (x)$ と $2$ を並べ替えます。

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$

ステップ 1.4.2.3

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$\sin (2 x) - \sin (x)$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $\sin (2 x) - \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\sin (2 x)) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

ステップ 2.2.1.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$f'' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

ステップ 2.2.1.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$f'' (x) = \cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

ステップ 2.2.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

ステップ 2.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

ステップ 2.2.4

$2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

ステップ 2.2.5

$2$ を $\cos (2 x)$ の左に移動させます。

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \sin (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - \frac{d}{d x} \sin (x)$

ステップ 2.3.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - \cos (x)$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\sin (2 x) - \sin (x) = 0$

ステップ 4

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) = 0$

ステップ 5

$\sin (x)$ を $2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$\sin (x)$ を $2 \sin (x) \cos (x)$ で因数分解します。

$\sin (x) (2 \cos (x)) - \sin (x) = 0$

ステップ 5.2

$\sin (x)$ を $- \sin (x)$ で因数分解します。

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1 = 0$

ステップ 5.3

$\sin (x)$ を $\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1$ で因数分解します。

$\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$

ステップ 6

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\sin (x) = 0$

$2 \cos (x) - 1 = 0$

ステップ 7

$\sin (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$\sin (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\sin (x) = 0$

ステップ 7.2

$x$ について $\sin (x) = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (0)$

ステップ 7.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 7.2.3

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - 0$

ステップ 7.2.4

$π$ から $0$ を引きます。

$x = π$

ステップ 7.2.5

方程式 $x = 0$ に対する解です。

$x = 0, π$

ステップ 8

$2 \cos (x) - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$2 \cos (x) - 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 \cos (x) - 1 = 0$

ステップ 8.2

$x$ について $2 \cos (x) - 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 \cos (x) = 1$

ステップ 8.2.2

$2 \cos (x) = 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.2.2.1

$2 \cos (x) = 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 8.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 8.2.2.2.1.2

$\cos (x)$ を $1$ で割ります。

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

ステップ 8.2.3

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

ステップ 8.2.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.4.1

$\arccos (\frac{1}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{3}$ です。

$x = \frac{π}{3}$

ステップ 8.2.5

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

ステップ 8.2.6

$2 π - \frac{π}{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.6.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 8.2.6.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.6.2.1

$2 π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 8.2.6.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

ステップ 8.2.6.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.6.3.1

$3$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{6 π - π}{3}$

ステップ 8.2.6.3.2

$6 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{5 π}{3}$

ステップ 8.2.7

方程式 $x = \frac{π}{3}$ に対する解です。

$x = \frac{π}{3}, \frac{5 π}{3}$

ステップ 9

最終解は $\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, π, \frac{π}{3}, \frac{5 π}{3}$

ステップ 10

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$2 \cos (2 (0)) - \cos (0)$

ステップ 11

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.1

$2$ に $0$ をかけます。

$2 \cos (0) - \cos (0)$

ステップ 11.1.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$2 \cdot 1 - \cos (0)$

ステップ 11.1.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 - \cos (0)$

ステップ 11.1.4

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$2 - 1 \cdot 1$

ステップ 11.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$2 - 1$

ステップ 11.2

$2$ から $1$ を引きます。

$1$

ステップ 12

$x = 0$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 0$ は極小値です

ステップ 13

$x = 0$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = \sin^{2} (0) + \cos (0)$

ステップ 13.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$f (0) = 0^{2} + \cos (0)$

ステップ 13.2.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 + \cos (0)$

ステップ 13.2.1.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$f (0) = 0 + 1$

ステップ 13.2.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$f (0) = 1$

ステップ 13.2.3

最終的な答えは $1$ です。

$y = 1$

ステップ 14

$x = π$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$2 \cos (2 (π)) - \cos (π)$

ステップ 15

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$2 \cos (0) - \cos (π)$

ステップ 15.1.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$2 \cdot 1 - \cos (π)$

ステップ 15.1.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 - \cos (π)$

ステップ 15.1.4

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$2 - - \cos (0)$

ステップ 15.1.5

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$2 - (- 1 \cdot 1)$

ステップ 15.1.6

$- (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1.6.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$2 - - 1$

ステップ 15.1.6.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$2 + 1$

ステップ 15.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$3$

ステップ 16

$x = π$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = π$ は極小値です

ステップ 17

$x = π$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1

式の変数 $x$ を $π$ で置換えます。

$f (π) = \sin^{2} (π) + \cos (π)$

ステップ 17.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.2.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$f (π) = \sin^{2} (0) + \cos (π)$

ステップ 17.2.1.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$f (π) = 0^{2} + \cos (π)$

ステップ 17.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (π) = 0 + \cos (π)$

ステップ 17.2.1.4

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$f (π) = 0 - \cos (0)$

ステップ 17.2.1.5

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$f (π) = 0 - 1 \cdot 1$

ステップ 17.2.1.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (π) = 0 - 1$

ステップ 17.2.2

$0$ から $1$ を引きます。

$f (π) = - 1$

ステップ 17.2.3

最終的な答えは $- 1$ です。

$y = - 1$

ステップ 18

$x = \frac{π}{3}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$2 \cos (2 (\frac{π}{3})) - \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 19

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1.1

$2$ と $\frac{π}{3}$ をまとめます。

$2 \cos (\frac{2 π}{3}) - \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 19.1.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$2 (- \cos (\frac{π}{3})) - \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 19.1.3

$\cos (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$2 (- \frac{1}{2}) - \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 19.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1.4.1

$- \frac{1}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 19.1.4.2

共通因数を約分します。

$2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 19.1.4.3

式を書き換えます。

$- 1 - \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 19.1.5

$\cos (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$- 1 - \frac{1}{2}$

ステップ 19.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

ステップ 19.3

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

ステップ 19.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

ステップ 19.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.5.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 2 - 1}{2}$

ステップ 19.5.2

$- 2$ から $1$ を引きます。

$\frac{- 3}{2}$

ステップ 19.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3}{2}$

ステップ 20

$x = \frac{π}{3}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{π}{3}$ は極大値です

ステップ 21

$x = \frac{π}{3}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 21.1

式の変数 $x$ を $\frac{π}{3}$ で置換えます。

$f (\frac{π}{3}) = \sin^{2} (\frac{π}{3}) + \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 21.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 21.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 21.2.1.1

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$f (\frac{π}{3}) = {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 21.2.1.2

積の法則を $\frac{\sqrt{3}}{2}$ に当てはめます。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 21.2.1.3

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 21.2.1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 21.2.1.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 21.2.1.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 21.2.1.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 21.2.1.3.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 21.2.1.3.4.2

式を書き換えます。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 21.2.1.3.5

指数を求めます。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 21.2.1.4

$2$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{4} + \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 21.2.1.5

$\cos (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2}$

ステップ 21.2.2

$\frac{1}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 21.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $4$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 21.2.3.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}$

ステップ 21.2.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{2}{4}$

ステップ 21.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3 + 2}{4}$

ステップ 21.2.5

$3$ と $2$ をたし算します。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{5}{4}$

ステップ 21.2.6

最終的な答えは $\frac{5}{4}$ です。

$y = \frac{5}{4}$

ステップ 22

$x = \frac{5 π}{3}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$2 \cos (2 (\frac{5 π}{3})) - \cos (\frac{5 π}{3})$

ステップ 23

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 23.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 23.1.1

$2 (\frac{5 π}{3})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 23.1.1.1

$2$ と $\frac{5 π}{3}$ をまとめます。

$2 \cos (\frac{2 (5 π)}{3}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

ステップ 23.1.1.2

$5$ に $2$ をかけます。

$2 \cos (\frac{10 π}{3}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

ステップ 23.1.2

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$2 \cos (\frac{4 π}{3}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

ステップ 23.1.3

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$2 (- \cos (\frac{π}{3})) - \cos (\frac{5 π}{3})$

ステップ 23.1.4

$\cos (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$2 (- \frac{1}{2}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

ステップ 23.1.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 23.1.5.1

$- \frac{1}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

ステップ 23.1.5.2

共通因数を約分します。

$2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

ステップ 23.1.5.3

式を書き換えます。

$- 1 - \cos (\frac{5 π}{3})$

ステップ 23.1.6

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$- 1 - \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 23.1.7

$\cos (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$- 1 - \frac{1}{2}$

ステップ 23.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

ステップ 23.3

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

ステップ 23.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

ステップ 23.5

分子を簡約します。

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ステップ 23.5.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 2 - 1}{2}$

ステップ 23.5.2

$- 2$ から $1$ を引きます。

$\frac{- 3}{2}$

ステップ 23.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3}{2}$

ステップ 24

$x = \frac{5 π}{3}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{5 π}{3}$ は極大値です

ステップ 25

$x = \frac{5 π}{3}$ のときy値を求めます。

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ステップ 25.1

式の変数 $x$ を $\frac{5 π}{3}$ で置換えます。

$f (\frac{5 π}{3}) = \sin^{2} (\frac{5 π}{3}) + \cos (\frac{5 π}{3})$

ステップ 25.2

結果を簡約します。

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ステップ 25.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 25.2.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$f (\frac{5 π}{3}) = {(- \sin (\frac{π}{3}))}^{2} + \cos (\frac{5 π}{3})$

ステップ 25.2.1.2

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$f (\frac{5 π}{3}) = {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + \cos (\frac{5 π}{3})$

ステップ 25.2.1.3

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 25.2.1.3.1

積の法則を $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ に当てはめます。

$f (\frac{5 π}{3}) = {(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + \cos (\frac{5 π}{3})$

ステップ 25.2.1.3.2

積の法則を $\frac{\sqrt{3}}{2}$ に当てはめます。

$f (\frac{5 π}{3}) = {(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}) + \cos (\frac{5 π}{3})$

ステップ 25.2.1.4

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{5 π}{3}) = 1 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}) + \cos (\frac{5 π}{3})$

ステップ 25.2.1.5

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

ステップ 25.2.1.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 25.2.1.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

ステップ 25.2.1.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

ステップ 25.2.1.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

ステップ 25.2.1.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 25.2.1.6.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

ステップ 25.2.1.6.4.2

式を書き換えます。

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

ステップ 25.2.1.6.5

指数を求めます。

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

ステップ 25.2.1.7

$2$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \cos (\frac{5 π}{3})$

ステップ 25.2.1.8

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 25.2.1.9

$\cos (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2}$

ステップ 25.2.2

$\frac{1}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 25.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $4$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 25.2.3.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}$

ステップ 25.2.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{2}{4}$

ステップ 25.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3 + 2}{4}$

ステップ 25.2.5

$3$ と $2$ をたし算します。

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5}{4}$

ステップ 25.2.6

最終的な答えは $\frac{5}{4}$ です。

$y = \frac{5}{4}$

ステップ 26

$f (x) = \sin^{2} (x) + \cos (x)$ の極値です。

$(0, 1)$ は極小値です

$(π, - 1)$ は極小値です

$(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$ は極大値です

$(\frac{5 π}{3}, \frac{5}{4})$ は極大値です

ステップ 27

微分積分 例

微分積分例