微分積分例

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(x + h)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{h}$

ステップ 1

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\frac{1}{{(x + h)}^{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ を掛けます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(x + h)}^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{h}$

ステップ 1.2

$- \frac{1}{x^{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ を掛けます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(x + h)}^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}}{h}$

ステップ 1.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を ${(x + h)}^{2} x^{2}$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$\frac{1}{{(x + h)}^{2}}$ に $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2}}{{(x + h)}^{2} x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}}{h}$

ステップ 1.3.2

$\frac{1}{x^{2}}$ に $\frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2}}{{(x + h)}^{2} x^{2}} - \frac{{(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

ステップ 1.3.3

${(x + h)}^{2} x^{2}$ の因数を並べ替えます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}} - \frac{{(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

ステップ 1.4

公分母の分子をまとめます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} - {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

極限の独立変数を簡約します。

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ステップ 2.1.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} - {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 2.1.2

$\frac{x^{2} - {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$ に $\frac{1}{h}$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} - {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2} h}$

ステップ 2.2

$\frac{1}{x^{2}}$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{x^{2} - {(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2} h}$

ステップ 3

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 3.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{lim_{h \to 0} x^{2} - {(x + h)}^{2}}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} h}$

ステップ 3.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{lim_{h \to 0} x^{2} - lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2}}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} h}$

ステップ 3.1.2.1.2

$h$ が $0$ に近づくと定数である $x^{2}$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2}}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} h}$

ステップ 3.1.2.1.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を ${(x + h)}^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - {(lim_{h \to 0} x + h)}^{2}}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} h}$

ステップ 3.1.2.1.4

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - {(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} h}$

ステップ 3.1.2.1.5

$h$ が $0$ に近づくと定数である $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - {(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} h}$

ステップ 3.1.2.2

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - {(x + 0)}^{2}}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} h}$

ステップ 3.1.2.3

$x^{2} - {(x + 0)}^{2}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 3.1.2.3.1

$x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - x^{2}}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} h}$

ステップ 3.1.2.3.2

$x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} h}$

ステップ 3.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} h}$

ステップ 3.1.3.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を ${(x + h)}^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{{(lim_{h \to 0} x + h)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} h}$

ステップ 3.1.3.3

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{{(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} h}$

ステップ 3.1.3.4

$h$ が $0$ に近づくと定数である $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} h}$

ステップ 3.1.3.5

すべての $h$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.5.1

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{{(x + 0)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} h}$

ステップ 3.1.3.5.2

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{{(x + 0)}^{2} \cdot 0}$

ステップ 3.1.3.6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.6.1

$x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{x^{2} \cdot 0}$

ステップ 3.1.3.6.2

$x^{2}$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 3.1.3.6.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 3.1.3.7

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 3.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 3.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} - {(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2} h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - {(x + h)}^{2}]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

ステップ 3.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

分母と分子を微分します。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - {(x + h)}^{2}]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

ステップ 3.3.2

${(x + h)}^{2}$ を $(x + h) (x + h)$ に書き換えます。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - (x + h) (x + h)]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

ステップ 3.3.3

分配法則（FOIL法）を使って $(x + h) (x + h)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - (x (x + h) + h (x + h))]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

ステップ 3.3.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - (x \cdot x + x h + h (x + h))]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

ステップ 3.3.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

ステップ 3.3.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

ステップ 3.3.4.1.2

$h$ に $h$ をかけます。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - (x^{2} + x h + h x + h^{2})]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

ステップ 3.3.4.2

$x h$ と $h x$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.2.1

$x$ と $h$ を並べ替えます。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - (x^{2} + h x + h x + h^{2})]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

ステップ 3.3.4.2.2

$h x$ と $h x$ をたし算します。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - (x^{2} + 2 h x + h^{2})]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

ステップ 3.3.5

総和則では、 $x^{2} - (x^{2} + 2 h x + h^{2})$ の $h$ に関する積分は $\frac{d}{d h} [x^{2}] + \frac{d}{d h} [- (x^{2} + 2 h x + h^{2})]$ です。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2}] + \frac{d}{d h} [- (x^{2} + 2 h x + h^{2})]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

ステップ 3.3.6

$x^{2}$ は $h$ について定数なので、 $h$ について $x^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d h} [- (x^{2} + 2 h x + h^{2})]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

ステップ 3.3.7

$\frac{d}{d h} [- (x^{2} + 2 h x + h^{2})]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.7.1

$- 1$ は $h$ に対して定数なので、 $h$ に対する $- (x^{2} + 2 h x + h^{2})$ の微分係数は $- \frac{d}{d h} [x^{2} + 2 h x + h^{2}]$ です。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d h} [x^{2} + 2 h x + h^{2}]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

ステップ 3.3.7.2

総和則では、 $x^{2} + 2 h x + h^{2}$ の $h$ に関する積分は $\frac{d}{d h} [x^{2}] + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}]$ です。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d h} [x^{2}] + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}])}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

ステップ 3.3.7.3

$x^{2}$ は $h$ について定数なので、 $h$ について $x^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - (0 + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}])}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

ステップ 3.3.7.4

$2 x$ は $h$ に対して定数なので、 $h$ に対する $2 h x$ の微分係数は $2 x \frac{d}{d h} [h]$ です。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - (0 + 2 x \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [h^{2}])}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

ステップ 3.3.7.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - (0 + 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d h} [h^{2}])}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

ステップ 3.3.7.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - (0 + 2 x \cdot 1 + 2 h)}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

ステップ 3.3.7.7

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - (0 + 2 x + 2 h)}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

ステップ 3.3.7.8

$0$ と $2 x$ をたし算します。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - (2 x + 2 h)}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

ステップ 3.3.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.8.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 2 x - 1 \cdot 2 h}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

ステップ 3.3.8.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.8.2.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 2 x - 1 \cdot 2 h}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

ステップ 3.3.8.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 2 x - 2 h}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

ステップ 3.3.8.2.3

$0$ から $- (- 2 x - 2 h)$ を引きます。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 x - 2 h}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

ステップ 3.3.8.3

項を並べ替えます。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

ステップ 3.3.9

${(x + h)}^{2}$ を $(x + h) (x + h)$ に書き換えます。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{\frac{d}{d h} [(x + h) (x + h) h]}$

ステップ 3.3.10

分配法則（FOIL法）を使って $(x + h) (x + h)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.10.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{\frac{d}{d h} [(x (x + h) + h (x + h)) h]}$

ステップ 3.3.10.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{\frac{d}{d h} [(x \cdot x + x h + h (x + h)) h]}$

ステップ 3.3.10.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{\frac{d}{d h} [(x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) h]}$

ステップ 3.3.11

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.11.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.11.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{\frac{d}{d h} [(x^{2} + x h + h x + h \cdot h) h]}$

ステップ 3.3.11.1.2

$h$ に $h$ をかけます。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{\frac{d}{d h} [(x^{2} + x h + h x + h^{2}) h]}$

ステップ 3.3.11.2

$x h$ と $h x$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.11.2.1

$x$ と $h$ を並べ替えます。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{\frac{d}{d h} [(x^{2} + h x + h x + h^{2}) h]}$

ステップ 3.3.11.2.2

$h x$ と $h x$ をたし算します。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{\frac{d}{d h} [(x^{2} + 2 h x + h^{2}) h]}$

ステップ 3.3.12

$f (h) = x^{2} + 2 h x + h^{2}$ および $g (h) = h$ のとき、 $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ は $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{(x^{2} + 2 h x + h^{2}) \frac{d}{d h} [h] + h \frac{d}{d h} [x^{2} + 2 h x + h^{2}]}$

ステップ 3.3.13

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{(x^{2} + 2 h x + h^{2}) \cdot 1 + h \frac{d}{d h} [x^{2} + 2 h x + h^{2}]}$

ステップ 3.3.14

$x^{2} + 2 h x + h^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + h \frac{d}{d h} [x^{2} + 2 h x + h^{2}]}$

ステップ 3.3.15

総和則では、 $x^{2} + 2 h x + h^{2}$ の $h$ に関する積分は $\frac{d}{d h} [x^{2}] + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}]$ です。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + h (\frac{d}{d h} [x^{2}] + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}])}$

ステップ 3.3.16

$x^{2}$ は $h$ について定数なので、 $h$ について $x^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + h (0 + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}])}$

ステップ 3.3.17

$0$ と $\frac{d}{d h} [2 h x]$ をたし算します。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + h (\frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}])}$

ステップ 3.3.18

$2 x$ は $h$ に対して定数なので、 $h$ に対する $2 h x$ の微分係数は $2 x \frac{d}{d h} [h]$ です。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + h (2 x \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [h^{2}])}$

ステップ 3.3.19

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + h (2 x \cdot 1 + \frac{d}{d h} [h^{2}])}$

ステップ 3.3.20

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + h (2 x + \frac{d}{d h} [h^{2}])}$

ステップ 3.3.21

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + h (2 x + 2 h)}$

ステップ 3.3.22

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.22.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + h \cdot 2 x + h \cdot 2 h}$

ステップ 3.3.22.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.22.2.1

$2$ を $h$ の左に移動させます。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 \cdot h x + h \cdot 2 h}$

ステップ 3.3.22.2.2

$h$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 h x + 2 h^{1} h}$

ステップ 3.3.22.2.3

$h$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 h x + 2 h^{1} h^{1}}$

ステップ 3.3.22.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 h x + 2 h^{1 + 1}}$

ステップ 3.3.22.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 h x + 2 h^{2}}$

ステップ 3.3.22.2.6

$2 h x$ と $2 h x$ をたし算します。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + h^{2} + 4 h x + 2 h^{2}}$

ステップ 3.3.22.2.7

$h^{2}$ と $2 h^{2}$ をたし算します。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 3 h^{2} + 4 h x}$

ステップ 3.3.22.3

項を並べ替えます。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{3 h^{2} + x^{2} + 4 h x}$

ステップ 4

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{lim_{h \to 0} - 2 h - 2 x}{lim_{h \to 0} 3 h^{2} + x^{2} + 4 h x}$

ステップ 4.2

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- lim_{h \to 0} 2 h - lim_{h \to 0} 2 x}{lim_{h \to 0} 3 h^{2} + x^{2} + 4 h x}$

ステップ 4.3

$2$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 2 x}{lim_{h \to 0} 3 h^{2} + x^{2} + 4 h x}$

ステップ 4.4

$h$ が $0$ に近づくと定数である $2 x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 lim_{h \to 0} h - 2 x}{lim_{h \to 0} 3 h^{2} + x^{2} + 4 h x}$

ステップ 4.5

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 lim_{h \to 0} h - 2 x}{lim_{h \to 0} 3 h^{2} + lim_{h \to 0} x^{2} + lim_{h \to 0} 4 h x}$

ステップ 4.6

$3$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 lim_{h \to 0} h - 2 x}{3 lim_{h \to 0} h^{2} + lim_{h \to 0} x^{2} + lim_{h \to 0} 4 h x}$

ステップ 4.7

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $h^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 lim_{h \to 0} h - 2 x}{3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} x^{2} + lim_{h \to 0} 4 h x}$

ステップ 4.8

$h$ が $0$ に近づくと定数である $x^{2}$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 lim_{h \to 0} h - 2 x}{3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + x^{2} + lim_{h \to 0} 4 h x}$

ステップ 4.9

$4 x$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 lim_{h \to 0} h - 2 x}{3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + x^{2} + 4 x lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5

すべての $h$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 \cdot 0 - 2 x}{3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + x^{2} + 4 x lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.2

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 \cdot 0 - 2 x}{3 \cdot 0^{2} + x^{2} + 4 x lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.3

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 \cdot 0 - 2 x}{3 \cdot 0^{2} + x^{2} + 4 x \cdot 0}$

ステップ 6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$- 2$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0 - 2 x}{3 \cdot 0^{2} + x^{2} + 4 x \cdot 0}$

ステップ 6.1.2

$0$ から $2 x$ を引きます。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 x}{3 \cdot 0^{2} + x^{2} + 4 x \cdot 0}$

ステップ 6.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 x}{3 \cdot 0 + x^{2} + 4 x \cdot 0}$

ステップ 6.2.2

$3$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 x}{0 + x^{2} + 4 x \cdot 0}$

ステップ 6.2.3

$4 x \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

$0$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 x}{0 + x^{2} + 0 x}$

ステップ 6.2.3.2

$0$ に $x$ をかけます。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 x}{0 + x^{2} + 0}$

ステップ 6.2.4

$0 + x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 x}{0 + x^{2}}$

ステップ 6.2.5

$0$ と $x^{2}$ をたし算します。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 x}{x^{2}}$

ステップ 6.3

まとめる。

$\frac{1 (- 2 x)}{x^{2} x^{2}}$

ステップ 6.4

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 6.4.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1 (- 2 x)}{x^{2 + 2}}$

ステップ 6.4.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{1 (- 2 x)}{x^{4}}$

ステップ 6.5

$- 2 x$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 2 x}{x^{4}}$

ステップ 6.6

$x$ と $x^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.1

$x$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot - 2}{x^{4}}$

ステップ 6.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.2.1

$x$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot - 2}{x \cdot x^{3}}$

ステップ 6.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x \cdot - 2}{x \cdot x^{3}}$

ステップ 6.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 2}{x^{3}}$

ステップ 6.7

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{x^{3}}$

微分積分 例

微分積分例