微分積分例

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x^{2} - 3 x + 2}$

ステップ 1

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\frac{1}{x - 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x^{2} - 3 x + 2}{x^{2} - 3 x + 2}$ を掛けます。

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x^{2} - 3 x + 2}{x^{2} - 3 x + 2} + \frac{1}{x^{2} - 3 x + 2}$

ステップ 1.2

$\frac{1}{x^{2} - 3 x + 2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - 1}{x - 1}$ を掛けます。

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x^{2} - 3 x + 2}{x^{2} - 3 x + 2} + \frac{1}{x^{2} - 3 x + 2} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

ステップ 1.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$\frac{1}{x - 1}$ に $\frac{x^{2} - 3 x + 2}{x^{2} - 3 x + 2}$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 3 x + 2}{(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)} + \frac{1}{x^{2} - 3 x + 2} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

ステップ 1.3.2

$\frac{1}{x^{2} - 3 x + 2}$ に $\frac{x - 1}{x - 1}$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 3 x + 2}{(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)} + \frac{x - 1}{(x^{2} - 3 x + 2) (x - 1)}$

ステップ 1.3.3

$(x^{2} - 3 x + 2) (x - 1)$ の因数を並べ替えます。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 3 x + 2}{(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)} + \frac{x - 1}{(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)}$

ステップ 1.4

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 3 x + 2 + x - 1}{(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)}$

ステップ 1.5

$- 3 x$ と $x$ をたし算します。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 2 x + 2 - 1}{(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)}$

ステップ 1.6

$2$ から $1$ を引きます。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 2 x + 1}{(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - 2 x + 1}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)}$

ステップ 2.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 2 x + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)}$

ステップ 2.1.2.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 2 x + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)}$

ステップ 2.1.2.3

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)}$

ステップ 2.1.2.4

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 1} x + 1}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)}$

ステップ 2.1.2.5

すべての $x$ に $1$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.1

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1^{2} - 2 lim_{x \to 1} x + 1}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)}$

ステップ 2.1.2.5.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1^{2} - 2 \cdot 1 + 1}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)}$

ステップ 2.1.2.6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.6.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1 - 2 \cdot 1 + 1}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)}$

ステップ 2.1.2.6.1.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 2 + 1}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)}$

ステップ 2.1.2.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{- 1 + 1}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)}$

ステップ 2.1.2.6.3

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)}$

ステップ 2.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot lim_{x \to 1} x^{2} - 3 x + 2}$

ステップ 2.1.3.2

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{(lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1) \cdot lim_{x \to 1} x^{2} - 3 x + 2}$

ステップ 2.1.3.3

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 1} x^{2} - 3 x + 2}$

ステップ 2.1.3.4

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot (lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 3 x + lim_{x \to 1} 2)}$

ステップ 2.1.3.5

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 3 x + lim_{x \to 1} 2)}$

ステップ 2.1.3.6

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 2)}$

ステップ 2.1.3.7

$x$ が $1$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 1} x + 2)}$

ステップ 2.1.3.8

すべての $x$ に $1$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.8.1

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{(1 - 1 \cdot 1) \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 1} x + 2)}$

ステップ 2.1.3.8.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{(1 - 1 \cdot 1) \cdot (1^{2} - 3 lim_{x \to 1} x + 2)}$

ステップ 2.1.3.8.3

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{(1 - 1 \cdot 1) \cdot (1^{2} - 3 \cdot 1 + 2)}$

ステップ 2.1.3.9

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.9.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{(1 - 1) \cdot (1^{2} - 3 \cdot 1 + 2)}$

ステップ 2.1.3.9.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{0 \cdot (1^{2} - 3 \cdot 1 + 2)}$

ステップ 2.1.3.9.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.9.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{0}{0 \cdot (1 - 3 \cdot 1 + 2)}$

ステップ 2.1.3.9.3.2

$- 3$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{0 \cdot (1 - 3 + 2)}$

ステップ 2.1.3.9.4

$1$ から $3$ を引きます。

$\frac{0}{0 \cdot (- 2 + 2)}$

ステップ 2.1.3.9.5

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

ステップ 2.1.3.9.6

$0$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.1.3.9.7

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.1.3.10

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 2 x + 1}{(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)]}$

ステップ 2.3.2

総和則では、 $x^{2} - 2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)]}$

ステップ 2.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)]}$

ステップ 2.3.4

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)]}$

ステップ 2.3.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)]}$

ステップ 2.3.4.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)]}$

ステップ 2.3.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2 + 0}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)]}$

ステップ 2.3.6

$2 x - 2$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)]}$

ステップ 2.3.7

$f (x) = x - 1$ および $g (x) = x^{2} - 3 x + 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 2] + (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

ステップ 2.3.8

総和則では、 $x^{2} - 3 x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

ステップ 2.3.9

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{(x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

ステップ 2.3.10

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{(x - 1) (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

ステップ 2.3.11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{(x - 1) (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) + (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

ステップ 2.3.12

$- 3$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{(x - 1) (2 x - 3 + \frac{d}{d x} [2]) + (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

ステップ 2.3.13

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{(x - 1) (2 x - 3 + 0) + (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

ステップ 2.3.14

$2 x - 3$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{(x - 1) (2 x - 3) + (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

ステップ 2.3.15

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{(x - 1) (2 x - 3) + (x^{2} - 3 x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}$

ステップ 2.3.16

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{(x - 1) (2 x - 3) + (x^{2} - 3 x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}$

ステップ 2.3.17

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{(x - 1) (2 x - 3) + (x^{2} - 3 x + 2) (1 + 0)}$

ステップ 2.3.18

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{(x - 1) (2 x - 3) + (x^{2} - 3 x + 2) \cdot 1}$

ステップ 2.3.19

$x^{2} - 3 x + 2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{(x - 1) (2 x - 3) + x^{2} - 3 x + 2}$

ステップ 2.3.20

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.20.1

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{(x - 1) (2 x) + (x - 1) \cdot - 3 + x^{2} - 3 x + 2}$

ステップ 2.3.20.2

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{x (2 x) - 1 (2 x) + (x - 1) \cdot - 3 + x^{2} - 3 x + 2}$

ステップ 2.3.20.3

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{x (2 x) - 1 (2 x) + x \cdot - 3 - 1 \cdot - 3 + x^{2} - 3 x + 2}$

ステップ 2.3.20.4

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.20.4.1

$x$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{2 (x^{1} x) - 1 (2 x) + x \cdot - 3 - 1 \cdot - 3 + x^{2} - 3 x + 2}$

ステップ 2.3.20.4.2

$x$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{2 (x^{1} x^{1}) - 1 (2 x) + x \cdot - 3 - 1 \cdot - 3 + x^{2} - 3 x + 2}$

ステップ 2.3.20.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{2 x^{1 + 1} - 1 (2 x) + x \cdot - 3 - 1 \cdot - 3 + x^{2} - 3 x + 2}$

ステップ 2.3.20.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{2 x^{2} - 1 (2 x) + x \cdot - 3 - 1 \cdot - 3 + x^{2} - 3 x + 2}$

ステップ 2.3.20.4.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{2 x^{2} - 2 x + x \cdot - 3 - 1 \cdot - 3 + x^{2} - 3 x + 2}$

ステップ 2.3.20.4.6

$- 3$ を $x$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{2 x^{2} - 2 x - 3 \cdot x - 1 \cdot - 3 + x^{2} - 3 x + 2}$

ステップ 2.3.20.4.7

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{2 x^{2} - 2 x - 3 x + 3 + x^{2} - 3 x + 2}$

ステップ 2.3.20.4.8

$- 2 x$ から $3 x$ を引きます。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{2 x^{2} - 5 x + 3 + x^{2} - 3 x + 2}$

ステップ 2.3.20.4.9

$2 x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{3 x^{2} - 5 x + 3 - 3 x + 2}$

ステップ 2.3.20.4.10

$- 5 x$ から $3 x$ を引きます。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{3 x^{2} - 8 x + 3 + 2}$

ステップ 2.3.20.4.11

$3$ と $2$ をたし算します。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{3 x^{2} - 8 x + 5}$

ステップ 3

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 1} 2 x - 2}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 8 x + 5}$

ステップ 3.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 8 x + 5}$

ステップ 3.1.2.1.2

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 8 x + 5}$

ステップ 3.1.2.1.3

$x$ が $1$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 8 x + 5}$

ステップ 3.1.2.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{2 \cdot 1 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 8 x + 5}$

ステップ 3.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.3.1.1

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 8 x + 5}$

ステップ 3.1.2.3.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 8 x + 5}$

ステップ 3.1.2.3.2

$2$ から $2$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 8 x + 5}$

ステップ 3.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - lim_{x \to 1} 8 x + lim_{x \to 1} 5}$

ステップ 3.1.3.2

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{3 lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 8 x + lim_{x \to 1} 5}$

ステップ 3.1.3.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 8 x + lim_{x \to 1} 5}$

ステップ 3.1.3.4

$8$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 8 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 5}$

ステップ 3.1.3.5

$x$ が $1$ に近づくと定数である $5$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 8 lim_{x \to 1} x + 5}$

ステップ 3.1.3.6

すべての $x$ に $1$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.6.1

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{3 \cdot 1^{2} - 8 lim_{x \to 1} x + 5}$

ステップ 3.1.3.6.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{3 \cdot 1^{2} - 8 \cdot 1 + 5}$

ステップ 3.1.3.7

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.7.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{0}{3 \cdot 1 - 8 \cdot 1 + 5}$

ステップ 3.1.3.7.1.2

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{3 - 8 \cdot 1 + 5}$

ステップ 3.1.3.7.1.3

$- 8$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{3 - 8 + 5}$

ステップ 3.1.3.7.2

$3$ から $8$ を引きます。

$\frac{0}{- 5 + 5}$

ステップ 3.1.3.7.3

$- 5$ と $5$ をたし算します。

$\frac{0}{0}$

ステップ 3.1.3.7.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 3.1.3.8

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 3.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 3.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{3 x^{2} - 8 x + 5} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 x - 2]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 5]}$

ステップ 3.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 x - 2]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 5]}$

ステップ 3.3.2

総和則では、 $2 x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 5]}$

ステップ 3.3.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 5]}$

ステップ 3.3.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 5]}$

ステップ 3.3.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{2 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 5]}$

ステップ 3.3.4

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{2 + 0}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 5]}$

ステップ 3.3.5

$2$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 1} \frac{2}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 5]}$

ステップ 3.3.6

総和則では、 $3 x^{2} - 8 x + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{2}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]}$

ステップ 3.3.7

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.7.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{2}{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]}$

ステップ 3.3.7.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{2}{3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]}$

ステップ 3.3.7.3

$2$ に $3$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{2}{6 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]}$

ステップ 3.3.8

$\frac{d}{d x} [- 8 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.8.1

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 8 x$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{2}{6 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]}$

ステップ 3.3.8.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{2}{6 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]}$

ステップ 3.3.8.3

$- 8$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{2}{6 x - 8 + \frac{d}{d x} [5]}$

ステップ 3.3.9

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{2}{6 x - 8 + 0}$

ステップ 3.3.10

$6 x - 8$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 1} \frac{2}{6 x - 8}$

ステップ 3.4

$2$ と $6 x - 8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$lim_{x \to 1} \frac{2 (1)}{6 x - 8}$

ステップ 3.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

$2$ を $6 x$ で因数分解します。

$lim_{x \to 1} \frac{2 (1)}{2 (3 x) - 8}$

ステップ 3.4.2.2

$2$ を $- 8$ で因数分解します。

$lim_{x \to 1} \frac{2 \cdot 1}{2 (3 x) + 2 \cdot - 4}$

ステップ 3.4.2.3

$2$ を $2 (3 x) + 2 (- 4)$ で因数分解します。

$lim_{x \to 1} \frac{2 (1)}{2 (3 x - 4)}$

ステップ 3.4.2.4

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 1} \frac{2 \cdot 1}{2 (3 x - 4)}$

ステップ 3.4.2.5

式を書き換えます。

$lim_{x \to 1} \frac{1}{3 x - 4}$

ステップ 4

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} 3 x - 4}$

ステップ 4.2

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{lim_{x \to 1} 3 x - 4}$

ステップ 4.3

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{lim_{x \to 1} 3 x - lim_{x \to 1} 4}$

ステップ 4.4

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{3 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 4}$

ステップ 4.5

$x$ が $1$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 4}$

ステップ 5

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3 \cdot 1 - 1 \cdot 4}$

ステップ 6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3 - 1 \cdot 4}$

ステップ 6.1.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{3 - 4}$

ステップ 6.1.3

$3$ から $4$ を引きます。

$\frac{1}{- 1}$

ステップ 6.2

$1$ を $- 1$ で割ります。

$- 1$

微分積分 例

微分積分例