微分積分例

$\ln (x \sqrt{x^{2} - 1})$

ステップ 1

$y = \ln (x \sqrt{x^{2} - 1})$ の定義域を求めると、 $x$ 値のリストが選択され、点のリストを求めることができます。このことで、累乗根をグラフにできます。

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ステップ 1.1

$\ln (x \sqrt{(x + 1) (x - 1)})$ の偏角を $0$ より大きいとして、式が定義である場所を求めます。

$x \sqrt{(x + 1) (x - 1)} > 0$

ステップ 1.2

$x$ について解きます。

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ステップ 1.2.1

不等式の左辺から根を削除するため、不等式の両辺を2乗します。

${(x \sqrt{(x + 1) (x - 1)})}^{2} > 0^{2}$

ステップ 1.2.2

不等式の各辺を簡約します。

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ステップ 1.2.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ を ${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(x {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

ステップ 1.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.2.2.1

${(x {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.2.2.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 1) (x - 1)$ を展開します。

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ステップ 1.2.2.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

${(x {(x (x - 1) + 1 (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

ステップ 1.2.2.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

${(x {(x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

ステップ 1.2.2.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

${(x {(x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

ステップ 1.2.2.2.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.2.2.2.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.2.2.1.2.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

${(x {(x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

ステップ 1.2.2.2.1.2.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

${(x {(x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

ステップ 1.2.2.2.1.2.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

${(x {(x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

ステップ 1.2.2.2.1.2.1.4

$x$ に $1$ をかけます。

${(x {(x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

ステップ 1.2.2.2.1.2.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

${(x {(x^{2} - x + x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

ステップ 1.2.2.2.1.2.2

$- x$ と $x$ をたし算します。

${(x {(x^{2} + 0 - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

ステップ 1.2.2.2.1.2.3

$x^{2}$ と $0$ をたし算します。

${(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

ステップ 1.2.2.2.1.3

積の法則を $x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ に当てはめます。

$x^{2} {({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

ステップ 1.2.2.2.1.4

${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.2.2.2.1.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

ステップ 1.2.2.2.1.4.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.2.2.1.4.2.1

共通因数を約分します。

$x^{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

ステップ 1.2.2.2.1.4.2.2

式を書き換えます。

$x^{2} {(x^{2} - 1)}^{1} > 0^{2}$

ステップ 1.2.2.2.1.5

簡約します。

$x^{2} (x^{2} - 1) > 0^{2}$

ステップ 1.2.2.2.1.6

分配則を当てはめます。

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 > 0^{2}$

ステップ 1.2.2.2.1.7

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.2.2.2.1.7.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 1 > 0^{2}$

ステップ 1.2.2.2.1.7.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$x^{4} + x^{2} \cdot - 1 > 0^{2}$

ステップ 1.2.2.2.1.8

$- 1$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$x^{4} - 1 \cdot x^{2} > 0^{2}$

ステップ 1.2.2.2.1.9

$- 1 x^{2}$ を $- x^{2}$ に書き換えます。

$x^{4} - x^{2} > 0^{2}$

ステップ 1.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$x^{4} - x^{2} > 0$

ステップ 1.2.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

不等式を方程式に変換します。

$x^{4} - x^{2} = 0$

ステップ 1.2.3.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.2.3.2.1

$x^{2}$ を $x^{4} - x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.3.2.1.1

$x^{2}$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$x^{2} x^{2} - x^{2} = 0$

ステップ 1.2.3.2.1.2

$x^{2}$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 = 0$

ステップ 1.2.3.2.1.3

$x^{2}$ を $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$ で因数分解します。

$x^{2} (x^{2} - 1) = 0$

ステップ 1.2.3.2.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$x^{2} (x^{2} - 1^{2}) = 0$

ステップ 1.2.3.2.3

因数分解。

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ステップ 1.2.3.2.3.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$x^{2} ((x + 1) (x - 1)) = 0$

ステップ 1.2.3.2.3.2

不要な括弧を削除します。

$x^{2} (x + 1) (x - 1) = 0$

ステップ 1.2.3.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 1.2.3.4

$x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.4.1

$x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} = 0$

ステップ 1.2.3.4.2

$x$ について $x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.3.4.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 1.2.3.4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.3.4.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 1.2.3.4.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 1.2.3.4.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 1.2.3.5

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.5.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 1.2.3.5.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 1.2.3.6

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.6.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 1.2.3.6.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 1.2.3.7

最終解は $x^{2} (x + 1) (x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 1, 1$

ステップ 1.2.4

$x \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ の定義域を求めます。

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ステップ 1.2.4.1

$\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$(x + 1) (x - 1) \geq 0$

ステップ 1.2.4.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 1.2.4.2.2

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.2.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 1.2.4.2.2.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 1.2.4.2.3

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.3.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 1.2.4.2.3.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 1.2.4.2.4

最終解は $(x + 1) (x - 1) \geq 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 1, 1$

ステップ 1.2.4.2.5

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

ステップ 1.2.4.2.6

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.6.1

区間 $x < - 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.6.1.1

区間 $x < - 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 1.2.4.2.6.1.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

$((- 4) + 1) ((- 4) - 1) \geq 0$

ステップ 1.2.4.2.6.1.3

左辺 $15$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 1.2.4.2.6.2

区間 $- 1 < x < 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.6.2.1

区間 $- 1 < x < 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 1.2.4.2.6.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$((0) + 1) ((0) - 1) \geq 0$

ステップ 1.2.4.2.6.2.3

左辺 $- 1$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 1.2.4.2.6.3

区間 $x > 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.6.3.1

区間 $x > 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 1.2.4.2.6.3.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$((4) + 1) ((4) - 1) \geq 0$

ステップ 1.2.4.2.6.3.3

左辺 $15$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 1.2.4.2.6.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 1$ 真

$- 1 < x < 1$ 偽

$x > 1$ 真

$x < - 1$ 真

$- 1 < x < 1$ 偽

$x > 1$ 真

ステップ 1.2.4.2.7

解はすべての真の区間からなります。

$x \leq - 1$ または $x \geq 1$

ステップ 1.2.4.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

ステップ 1.2.5

解はすべての真の区間からなります。

$x > 1$

ステップ 1.3

$\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$(x + 1) (x - 1) \geq 0$

ステップ 1.4

$x$ について解きます。

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ステップ 1.4.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 1.4.2

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 1.4.2.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 1.4.3

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 1.4.3.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 1.4.4

最終解は $(x + 1) (x - 1) \geq 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 1, 1$

ステップ 1.4.5

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

ステップ 1.4.6

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.6.1

区間 $x < - 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.6.1.1

区間 $x < - 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 1.4.6.1.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

$((- 4) + 1) ((- 4) - 1) \geq 0$

ステップ 1.4.6.1.3

左辺 $15$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 1.4.6.2

区間 $- 1 < x < 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.6.2.1

区間 $- 1 < x < 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 1.4.6.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$((0) + 1) ((0) - 1) \geq 0$

ステップ 1.4.6.2.3

左辺 $- 1$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 1.4.6.3

区間 $x > 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 1.4.6.3.1

区間 $x > 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 1.4.6.3.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$((4) + 1) ((4) - 1) \geq 0$

ステップ 1.4.6.3.3

左辺 $15$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 1.4.6.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 1$ 真

$- 1 < x < 1$ 偽

$x > 1$ 真

$x < - 1$ 真

$- 1 < x < 1$ 偽

$x > 1$ 真

ステップ 1.4.7

解はすべての真の区間からなります。

$x \leq - 1$ または $x \geq 1$

ステップ 1.5

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(1, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x > 1}$

区間記号：

$(1, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x > 1}$

ステップ 2

ラジカル式の端点を求めるために、 $x$ の値 $1$ を定義域内の最小値として $f (x) = \ln (x \sqrt{(x + 1) (x - 1)})$ に代入します。

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ステップ 2.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = \ln ((1) \sqrt{((1) + 1) ((1) - 1)})$

ステップ 2.2

$\sqrt{((1) + 1) ((1) - 1)}$ に $1$ をかけます。

$f (1) = \ln (\sqrt{((1) + 1) ((1) - 1)})$

ステップ 2.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (1) = \ln (\sqrt{2 (1 - 1)})$

ステップ 2.4

$1$ から $1$ を引きます。

$f (1) = \ln (\sqrt{2 \cdot 0})$

ステップ 2.5

$2$ に $0$ をかけます。

$f (1) = \ln (\sqrt{0})$

ステップ 2.6

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$f (1) = \ln (\sqrt{0^{2}})$

ステップ 2.7

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (1) = \ln (0)$

ステップ 2.8

0の自然対数は未定義です。

$f (1) = Undefined$

未定義

ステップ 3

無理式の端点は $(1, Undefined)$ です。

$(1, Undefined)$

ステップ 4

定義域からいくつかの $x$ 値を選択します。無理式の端点の $x$ 値の隣にくるように値を選択するとより便利です。

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ステップ 4.1

$x$ 値の $2$ を $f (x) = \ln (x \sqrt{(x + 1) (x - 1)})$ に代入します。この場合、点は $(2, \ln (2 \sqrt{3}))$ です。

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ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f (2) = \ln ((2) \sqrt{((2) + 1) ((2) - 1)})$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

$2$ と $1$ をたし算します。

$f (2) = \ln (2 \sqrt{3 (2 - 1)})$

ステップ 4.1.2.2

$2$ から $1$ を引きます。

$f (2) = \ln (2 \sqrt{3 \cdot 1})$

ステップ 4.1.2.3

$3$ に $1$ をかけます。

$f (2) = \ln (2 \sqrt{3})$

ステップ 4.1.2.4

最終的な答えは $\ln (2 \sqrt{3})$ です。

$y = \ln (2 \sqrt{3})$

ステップ 4.2

$x$ 値の $3$ を $f (x) = \ln (x \sqrt{(x + 1) (x - 1)})$ に代入します。この場合、点は $(3, \ln (6 \sqrt{2}))$ です。

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ステップ 4.2.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f (3) = \ln ((3) \sqrt{((3) + 1) ((3) - 1)})$

ステップ 4.2.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$3$ と $1$ をたし算します。

$f (3) = \ln (3 \sqrt{4 (3 - 1)})$

ステップ 4.2.2.2

$3$ から $1$ を引きます。

$f (3) = \ln (3 \sqrt{4 \cdot 2})$

ステップ 4.2.2.3

$4$ に $2$ をかけます。

$f (3) = \ln (3 \sqrt{8})$

ステップ 4.2.2.4

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

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ステップ 4.2.2.4.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$f (3) = \ln (3 \sqrt{4 (2)})$

ステップ 4.2.2.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f (3) = \ln (3 \sqrt{2^{2} \cdot 2})$

ステップ 4.2.2.5

累乗根の下から項を取り出します。

$f (3) = \ln (3 (2 \sqrt{2}))$

ステップ 4.2.2.6

$2$ に $3$ をかけます。

$f (3) = \ln (6 \sqrt{2})$

ステップ 4.2.2.7

最終的な答えは $\ln (6 \sqrt{2})$ です。

$y = \ln (6 \sqrt{2})$

ステップ 4.3

平方根は、頂点 $(1, Undefined), (2, 1.24), (3, 2.14)$ の周りの点を利用してグラフにすることができます。

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & Undefined \\ 2 & 1.24 \\ 3 & 2.14 \end{array}$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例