微分積分例

${(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2}$

ステップ 1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x + 1}{x - 1}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

ステップ 1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x + 1}{x - 1}$ で置き換えます。

$2 \frac{x + 1}{x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

ステップ 2

$2$ と $\frac{x + 1}{x - 1}$ をまとめます。

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

ステップ 3

$f (x) = x + 1$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.4.2

$x - 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.5

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.7

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.8

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.8.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.8.3

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1}$ に $\frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{2 (x + 1) (x - 1 - (x + 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5

指数を足して $x - 1$ に ${(x - 1)}^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$x - 1$ に ${(x - 1)}^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$x - 1$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (x + 1) (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 (x + 1) (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{1 + 2}}$

ステップ 5.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 (x + 1) (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{3}}$

ステップ 6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 x + 2 \cdot 1) (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{3}}$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 x + 2 \cdot 1) (x - 1 - x - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

ステップ 6.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{(2 x + 2) (x - 1 - x - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

ステップ 6.3.2

$x - 1 - x - 1 \cdot 1$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

$x$ から $x$ を引きます。

$\frac{(2 x + 2) (0 - 1 - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

ステップ 6.3.2.2

$0$ から $1$ を引きます。

$\frac{(2 x + 2) (- 1 - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

ステップ 6.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{(2 x + 2) (- 1 - 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

ステップ 6.3.4

$- 1$ から $1$ を引きます。

$\frac{(2 x + 2) \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

ステップ 6.3.5

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x \cdot - 2 + 2 \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

ステップ 6.3.6

$- 2$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 4 x + 2 \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

ステップ 6.3.7

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{- 4 x - 4}{{(x - 1)}^{3}}$

ステップ 6.4

$4$ を $- 4 x - 4$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

$4$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$\frac{4 (- x) - 4}{{(x - 1)}^{3}}$

ステップ 6.4.2

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$\frac{4 (- x) + 4 (- 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

ステップ 6.4.3

$4$ を $4 (- x) + 4 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{4 (- x - 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

ステップ 6.5

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{4 (- (x) - 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

ステップ 6.6

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\frac{4 (- (x) - 1 (1))}{{(x - 1)}^{3}}$

ステップ 6.7

$- 1$ を $- (x) - 1 (1)$ で因数分解します。

$\frac{4 (- (x + 1))}{{(x - 1)}^{3}}$

ステップ 6.8

$- (x + 1)$ を $- 1 (x + 1)$ に書き換えます。

$\frac{4 (- 1 (x + 1))}{{(x - 1)}^{3}}$

ステップ 6.9

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{4 (x + 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

微分積分 例

微分積分例