微分積分例

$[(x^{2} + x^{3}) (x + 9)]$

ステップ 1

$f (x) = x^{2} + x^{3}$ および $g (x) = x + 9$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(x^{2} + x^{3}) \frac{d}{d x} [x + 9] + (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} + x^{3}]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $x + 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ です。

$(x^{2} + x^{3}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) + (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} + x^{3}]$

ステップ 2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x^{2} + x^{3}) (1 + \frac{d}{d x} [9]) + (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} + x^{3}]$

ステップ 2.3

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$(x^{2} + x^{3}) (1 + 0) + (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} + x^{3}]$

ステップ 2.4

式を簡約します。

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ステップ 2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$(x^{2} + x^{3}) \cdot 1 + (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} + x^{3}]$

ステップ 2.4.2

$x^{2} + x^{3}$ に $1$ をかけます。

$x^{2} + x^{3} + (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} + x^{3}]$

ステップ 2.5

総和則では、 $x^{2} + x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$x^{2} + x^{3} + (x + 9) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 2.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} + x^{3} + (x + 9) (2 x + \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 2.7

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} + x^{3} + (x + 9) (2 x + 3 x^{2})$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$x^{2} + x^{3} + (x + 9) (2 x) + (x + 9) (3 x^{2})$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$x^{2} + x^{3} + x (2 x) + 9 (2 x) + (x + 9) (3 x^{2})$

ステップ 3.3

分配則を当てはめます。

$x^{2} + x^{3} + x (2 x) + 9 (2 x) + x (3 x^{2}) + 9 (3 x^{2})$

ステップ 3.4

項をまとめます。

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ステップ 3.4.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{2} + x^{3} + 2 (x^{1} x) + 9 (2 x) + x (3 x^{2}) + 9 (3 x^{2})$

ステップ 3.4.2

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{2} + x^{3} + 2 (x^{1} x^{1}) + 9 (2 x) + x (3 x^{2}) + 9 (3 x^{2})$

ステップ 3.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{2} + x^{3} + 2 x^{1 + 1} + 9 (2 x) + x (3 x^{2}) + 9 (3 x^{2})$

ステップ 3.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$x^{2} + x^{3} + 2 x^{2} + 9 (2 x) + x (3 x^{2}) + 9 (3 x^{2})$

ステップ 3.4.5

$2$ に $9$ をかけます。

$x^{2} + x^{3} + 2 x^{2} + 18 x + x (3 x^{2}) + 9 (3 x^{2})$

ステップ 3.4.6

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{2} + x^{3} + 2 x^{2} + 18 x + 3 (x^{1} x^{2}) + 9 (3 x^{2})$

ステップ 3.4.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{2} + x^{3} + 2 x^{2} + 18 x + 3 x^{1 + 2} + 9 (3 x^{2})$

ステップ 3.4.8

$1$ と $2$ をたし算します。

$x^{2} + x^{3} + 2 x^{2} + 18 x + 3 x^{3} + 9 (3 x^{2})$

ステップ 3.4.9

$3$ に $9$ をかけます。

$x^{2} + x^{3} + 2 x^{2} + 18 x + 3 x^{3} + 27 x^{2}$

ステップ 3.4.10

$2 x^{2}$ と $27 x^{2}$ をたし算します。

$x^{2} + x^{3} + 29 x^{2} + 18 x + 3 x^{3}$

ステップ 3.4.11

$x^{2}$ と $29 x^{2}$ をたし算します。

$x^{3} + 30 x^{2} + 18 x + 3 x^{3}$

ステップ 3.4.12

$x^{3}$ と $3 x^{3}$ をたし算します。

$4 x^{3} + 30 x^{2} + 18 x$

微分積分 例

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