微分積分例

${(4 x - x^{2})}^{3}$

ステップ 1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = 4 x - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 x - x^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [4 x - x^{2}]$

ステップ 1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [4 x - x^{2}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $4 x - x^{2}$ で置き換えます。

$3 {(4 x - x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [4 x - x^{2}]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $4 x - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$3 {(4 x - x^{2})}^{2} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 2.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 {(4 x - x^{2})}^{2} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 {(4 x - x^{2})}^{2} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 2.4

$4$ に $1$ をかけます。

$3 {(4 x - x^{2})}^{2} (4 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 2.5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 {(4 x - x^{2})}^{2} (4 - \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 2.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 {(4 x - x^{2})}^{2} (4 - (2 x))$

ステップ 2.7

$2$ に $- 1$ をかけます。

$3 {(4 x - x^{2})}^{2} (4 - 2 x)$

微分積分 例