微分積分例

$y = \frac{x^{3} + 8}{x + 2}$

ステップ 1

$f (x) = x^{3} + 8$ および $g (x) = x + 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 8] - (x^{3} + 8) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $x^{3} + 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]$ です。

$\frac{(x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]) - (x^{3} + 8) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x + 2) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [8]) - (x^{3} + 8) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 2.3

$8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $8$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x + 2) (3 x^{2} + 0) - (x^{3} + 8) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 2.4

式を簡約します。

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ステップ 2.4.1

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x + 2) (3 x^{2}) - (x^{3} + 8) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 2.4.2

$3$ を $x + 2$ の左に移動させます。

$\frac{3 \cdot (x + 2) x^{2} - (x^{3} + 8) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 2.5

総和則では、 $x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{3 (x + 2) x^{2} - (x^{3} + 8) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3 (x + 2) x^{2} - (x^{3} + 8) (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 2.7

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{3 (x + 2) x^{2} - (x^{3} + 8) (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 2.8

式を簡約します。

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ステップ 2.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{3 (x + 2) x^{2} - (x^{3} + 8) \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 2.8.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 (x + 2) x^{2} - (x^{3} + 8)}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(3 x + 3 \cdot 2) x^{2} - (x^{3} + 8)}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{3 x \cdot x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2} - (x^{3} + 8)}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{3 x \cdot x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2} - x^{3} - 1 \cdot 8}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.4

分子を簡約します。

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ステップ 3.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.4.1.1

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.4.1.1.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{3 (x^{2} x) + 3 \cdot 2 x^{2} - x^{3} - 1 \cdot 8}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.4.1.1.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 3.4.1.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot 2 x^{2} - x^{3} - 1 \cdot 8}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.4.1.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 x^{2 + 1} + 3 \cdot 2 x^{2} - x^{3} - 1 \cdot 8}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.4.1.1.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{3 x^{3} + 3 \cdot 2 x^{2} - x^{3} - 1 \cdot 8}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.4.1.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{3 x^{3} + 6 x^{2} - x^{3} - 1 \cdot 8}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.4.1.3

$- 1$ に $8$ をかけます。

$\frac{3 x^{3} + 6 x^{2} - x^{3} - 8}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.4.2

$3 x^{3}$ から $x^{3}$ を引きます。

$\frac{2 x^{3} + 6 x^{2} - 8}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.5

$2$ を $2 x^{3} + 6 x^{2} - 8$ で因数分解します。

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ステップ 3.5.1

$2$ を $2 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{2 (x^{3}) + 6 x^{2} - 8}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.5.2

$2$ を $6 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 (x^{3}) + 2 (3 x^{2}) - 8}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.5.3

$2$ を $- 8$ で因数分解します。

$\frac{2 x^{3} + 2 (3 x^{2}) + 2 \cdot - 4}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.5.4

$2$ を $2 x^{3} + 2 (3 x^{2})$ で因数分解します。

$\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2}) + 2 \cdot - 4}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.5.5

$2$ を $2 (x^{3} + 3 x^{2}) + 2 \cdot - 4$ で因数分解します。

$\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 4)}{{(x + 2)}^{2}}$

微分積分 例

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