微分積分例

$\cot^{2} (\sin (x))$

ステップ 1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \cot (\sin (x))$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\cot (\sin (x))$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cot (\sin (x))]$

ステップ 1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cot (\sin (x))]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\cot (\sin (x))$ で置き換えます。

$2 \cot (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cot (\sin (x))]$

ステップ 2

$f (x) = \cot (x)$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\sin (x)$ とします。

$2 \cot (\sin (x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 2.2

$u_{2}$ に関する $\cot (u_{2})$ の微分係数は $- \csc^{2} (u_{2})$ です。

$2 \cot (\sin (x)) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$2 \cot (\sin (x)) (- \csc^{2} (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 \cot (\sin (x)) (\csc^{2} (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 4

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$- 2 \cot (\sin (x)) \csc^{2} (\sin (x)) \cos (x)$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$- 2 \cot (\sin (x)) \csc^{2} (\sin (x)) \cos (x)$ の因数を並べ替えます。

$- 2 \csc^{2} (\sin (x)) \cos (x) \cot (\sin (x))$

ステップ 5.2

正弦と余弦に関して $\csc (\sin (x))$ を書き換えます。

$- 2 {(\frac{1}{\sin (\sin (x))})}^{2} \cos (x) \cot (\sin (x))$

ステップ 5.3

積の法則を $\frac{1}{\sin (\sin (x))}$ に当てはめます。

$- 2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (\sin (x))} \cos (x) \cot (\sin (x))$

ステップ 5.4

1のすべての数の累乗は1です。

$- 2 \frac{1}{\sin^{2} (\sin (x))} \cos (x) \cot (\sin (x))$

ステップ 5.5

$- 2$ と $\frac{1}{\sin^{2} (\sin (x))}$ をまとめます。

$\frac{- 2}{\sin^{2} (\sin (x))} \cos (x) \cot (\sin (x))$

ステップ 5.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{\sin^{2} (\sin (x))} \cos (x) \cot (\sin (x))$

ステップ 5.7

$\cos (x)$ と $\frac{2}{\sin^{2} (\sin (x))}$ をまとめます。

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{\sin^{2} (\sin (x))} \cot (\sin (x))$

ステップ 5.8

$2$ を $\cos (x)$ の左に移動させます。

$- \frac{2 \cdot \cos (x)}{\sin^{2} (\sin (x))} \cot (\sin (x))$

ステップ 5.9

正弦と余弦に関して $\cot (\sin (x))$ を書き換えます。

$- \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (\sin (x))} \cdot \frac{\cos (\sin (x))}{\sin (\sin (x))}$

ステップ 5.10

$- \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (\sin (x))} \cdot \frac{\cos (\sin (x))}{\sin (\sin (x))}$ を掛けます。

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ステップ 5.10.1

$\frac{\cos (\sin (x))}{\sin (\sin (x))}$ に $\frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (\sin (x))}$ をかけます。

$- \frac{\cos (\sin (x)) (2 \cos (x))}{\sin (\sin (x)) \sin^{2} (\sin (x))}$

ステップ 5.10.2

指数を足して $\sin (\sin (x))$ に $\sin^{2} (\sin (x))$ を掛けます。

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ステップ 5.10.2.1

$\sin (\sin (x))$ に $\sin^{2} (\sin (x))$ をかけます。

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ステップ 5.10.2.1.1

$\sin (\sin (x))$ を $1$ 乗します。

$- \frac{\cos (\sin (x)) (2 \cos (x))}{\sin^{1} (\sin (x)) \sin^{2} (\sin (x))}$

ステップ 5.10.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{\cos (\sin (x)) (2 \cos (x))}{{\sin (\sin (x))}^{1 + 2}}$

ステップ 5.10.2.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$- \frac{\cos (\sin (x)) (2 \cos (x))}{\sin^{3} (\sin (x))}$

ステップ 5.11

$2$ を $\cos (\sin (x))$ の左に移動させます。

$- \frac{2 \cdot \cos (\sin (x)) \cos (x)}{\sin^{3} (\sin (x))}$

ステップ 5.12

$\sin (\sin (x))$ を $\sin^{3} (\sin (x))$ で因数分解します。

$- \frac{2 \cos (\sin (x)) \cos (x)}{\sin (\sin (x)) \sin^{2} (\sin (x))}$

ステップ 5.13

分数を分解します。

$- (\frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (\sin (x))} \cdot \frac{\cos (\sin (x))}{\sin (\sin (x))})$

ステップ 5.14

$\frac{\cos (\sin (x))}{\sin (\sin (x))}$ を $\cot (\sin (x))$ に変換します。

$- (\frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (\sin (x))} \cot (\sin (x)))$

ステップ 5.15

$\sin (\sin (x))$ を $\sin^{2} (\sin (x))$ で因数分解します。

$- (\frac{2 \cos (x)}{\sin (\sin (x)) \sin (\sin (x))} \cot (\sin (x)))$

ステップ 5.16

分数を分解します。

$- (\frac{2}{\sin (\sin (x))} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (\sin (x))} \cot (\sin (x)))$

ステップ 5.17

$\frac{\cos (x)}{\sin (\sin (x))}$ を積として書き換えます。

$- (\frac{2}{\sin (\sin (x))} (\cos (x) \frac{1}{\sin (\sin (x))}) \cot (\sin (x)))$

ステップ 5.18

$\cos (x)$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$- (\frac{2}{\sin (\sin (x))} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (\sin (x))}) \cot (\sin (x)))$

ステップ 5.19

簡約します。

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ステップ 5.19.1

$\cos (x)$ を $1$ で割ります。

$- (\frac{2}{\sin (\sin (x))} (\cos (x) \frac{1}{\sin (\sin (x))}) \cot (\sin (x)))$

ステップ 5.19.2

$\frac{1}{\sin (\sin (x))}$ を $\csc (\sin (x))$ に変換します。

$- (\frac{2}{\sin (\sin (x))} (\cos (x) \csc (\sin (x))) \cot (\sin (x)))$

ステップ 5.20

分数を分解します。

$- (\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\sin (\sin (x))} (\cos (x) \csc (\sin (x))) \cot (\sin (x)))$

ステップ 5.21

$\frac{1}{\sin (\sin (x))}$ を $\csc (\sin (x))$ に変換します。

$- (\frac{2}{1} \csc (\sin (x)) (\cos (x) \csc (\sin (x))) \cot (\sin (x)))$

ステップ 5.22

$2$ を $1$ で割ります。

$- (2 \csc (\sin (x)) (\cos (x) \csc (\sin (x))) \cot (\sin (x)))$

ステップ 5.23

$2 \csc (\sin (x)) (\cos (x) \csc (\sin (x)))$ を掛けます。

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ステップ 5.23.1

$\csc (\sin (x))$ を $1$ 乗します。

$- (2 (\csc^{1} (\sin (x)) \csc (\sin (x))) \cos (x) \cot (\sin (x)))$

ステップ 5.23.2

$\csc (\sin (x))$ を $1$ 乗します。

$- (2 (\csc^{1} (\sin (x)) \csc^{1} (\sin (x))) \cos (x) \cot (\sin (x)))$

ステップ 5.23.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- (2 {\csc (\sin (x))}^{1 + 1} \cos (x) \cot (\sin (x)))$

ステップ 5.23.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$- (2 \csc^{2} (\sin (x)) \cos (x) \cot (\sin (x)))$

ステップ 5.24

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 \csc^{2} (\sin (x)) \cos (x) \cot (\sin (x))$

微分積分 例

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