微分積分例

$\tan (\ln (a x + b))$

ステップ 1

$f (a) = \tan (a)$ および $g (a) = \ln (a x + b)$ のとき、 $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ は $f' (g (a)) g' (a)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\ln (a x + b)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d a} [\ln (a x + b)]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\tan (u_{1})$ の微分係数は $\sec^{2} (u_{1})$ です。

$\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d a} [\ln (a x + b)]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\ln (a x + b)$ で置き換えます。

$\sec^{2} (\ln (a x + b)) \frac{d}{d a} [\ln (a x + b)]$

ステップ 2

$f (a) = \ln (a)$ および $g (a) = a x + b$ のとき、 $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ は $f' (g (a)) g' (a)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $a x + b$ とします。

$\sec^{2} (\ln (a x + b)) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d a} [a x + b])$

ステップ 2.2

$u_{2}$ に関する $\ln (u_{2})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{2}}$ です。

$\sec^{2} (\ln (a x + b)) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d a} [a x + b])$

ステップ 2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $a x + b$ で置き換えます。

$\sec^{2} (\ln (a x + b)) (\frac{1}{a x + b} \frac{d}{d a} [a x + b])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{a x + b}$ と $\sec^{2} (\ln (a x + b))$ をまとめます。

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b} \frac{d}{d a} [a x + b]$

ステップ 3.2

総和則では、 $a x + b$ の $a$ に関する積分は $\frac{d}{d a} [a x] + \frac{d}{d a} [b]$ です。

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b} (\frac{d}{d a} [a x] + \frac{d}{d a} [b])$

ステップ 3.3

$x$ は $a$ に対して定数なので、 $a$ に対する $a x$ の微分係数は $x \frac{d}{d a} [a]$ です。

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b} (x \frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [b])$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ は $n a^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b} (x \cdot 1 + \frac{d}{d a} [b])$

ステップ 3.5

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b} (x + \frac{d}{d a} [b])$

ステップ 3.6

$b$ は $a$ について定数なので、 $a$ について $b$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b} (x + 0)$

ステップ 3.7

分数をまとめます。

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ステップ 3.7.1

$x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b} x$

ステップ 3.7.2

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b)) x}{a x + b}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$\sec^{2} (\ln (a x + b)) x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{x \sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b}$

ステップ 4.2

項を並べ替えます。

$\frac{x \sec^{2} (\ln (a x + b))}{b + a x}$

微分積分 例

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