微分積分例

$y = \ln (x^{2} e^{x})$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{2} e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} e^{x}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} e^{x}$ で置き換えます。

$\frac{1}{x^{2} e^{x}} \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{2} e^{x}} (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{2} e^{x}} (x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{2} e^{x}} (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x))$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{x^{2} e^{x}} (x^{2} e^{x}) + \frac{1}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

ステップ 5.2

項をまとめます。

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ステップ 5.2.1

$x^{2}$ と $\frac{1}{x^{2} e^{x}}$ をまとめます。

$\frac{x^{2}}{x^{2} e^{x}} e^{x} + \frac{1}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

ステップ 5.2.2

$\frac{x^{2}}{x^{2} e^{x}}$ と $e^{x}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} e^{x}}{x^{2} e^{x}} + \frac{1}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

ステップ 5.2.3

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} e^{x}}{x^{2} e^{x}} + \frac{1}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

ステップ 5.2.3.2

式を書き換えます。

$\frac{e^{x}}{e^{x}} + \frac{1}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

ステップ 5.2.4

$e^{x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{x}}{e^{x}} + \frac{1}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

ステップ 5.2.4.2

式を書き換えます。

$1 + \frac{1}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

ステップ 5.2.5

$e^{x}$ と $\frac{1}{x^{2} e^{x}}$ をまとめます。

$1 + \frac{e^{x}}{x^{2} e^{x}} (2 x)$

ステップ 5.2.6

$2$ と $\frac{e^{x}}{x^{2} e^{x}}$ をまとめます。

$1 + \frac{2 e^{x}}{x^{2} e^{x}} x$

ステップ 5.2.7

$\frac{2 e^{x}}{x^{2} e^{x}}$ と $x$ をまとめます。

$1 + \frac{2 e^{x} x}{x^{2} e^{x}}$

ステップ 5.2.8

$e^{x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.8.1

共通因数を約分します。

$1 + \frac{2 e^{x} x}{x^{2} e^{x}}$

ステップ 5.2.8.2

式を書き換えます。

$1 + \frac{2 x}{x^{2}}$

ステップ 5.2.9

$x$ と $x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.9.1

$x$ を $2 x$ で因数分解します。

$1 + \frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

ステップ 5.2.9.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.9.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$1 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

ステップ 5.2.9.2.2

共通因数を約分します。

$1 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

ステップ 5.2.9.2.3

式を書き換えます。

$1 + \frac{2}{x}$

ステップ 5.3

項を並べ替えます。

$\frac{2}{x} + 1$

微分積分 例

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