微分積分例

$y = {(x^{2} + x^{3})}^{4}$

ステップ 1

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = x^{2} + x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + x^{3}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x^{2} + x^{3}]$

ステップ 1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + x^{3}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + x^{3}$ で置き換えます。

$4 {(x^{2} + x^{3})}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + x^{3}]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $x^{2} + x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$4 {(x^{2} + x^{3})}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 {(x^{2} + x^{3})}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 2.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 {(x^{2} + x^{3})}^{3} (2 x + 3 x^{2})$

微分積分 例