微分積分例

$\frac{5 x}{1 + x^{2}}$

ステップ 1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{5 x}{1 + x^{2}}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$

ステップ 2

$f (x) = x$ および $g (x) = 1 + x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$5 \frac{(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 \frac{(1 + x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.2

$1 + x^{2}$ に $1$ をかけます。

$5 \frac{1 + x^{2} - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3

総和則では、 $1 + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$5 \frac{1 + x^{2} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$5 \frac{1 + x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.5

$0$ と $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ をたし算します。

$5 \frac{1 + x^{2} - x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 \frac{1 + x^{2} - x (2 x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7

$2$ に $- 1$ をかけます。

$5 \frac{1 + x^{2} - 2 x \cdot x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 4

$x$ を $1$ 乗します。

$5 \frac{1 + x^{2} - 2 (x^{1} x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 5

$x$ を $1$ 乗します。

$5 \frac{1 + x^{2} - 2 (x^{1} x^{1})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$5 \frac{1 + x^{2} - 2 x^{1 + 1}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 7

$1$ と $1$ をたし算します。

$5 \frac{1 + x^{2} - 2 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 8

$x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$5 \frac{1 - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 9

$5$ と $\frac{1 - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{5 (1 - x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

分配則を当てはめます。

$\frac{5 \cdot 1 + 5 (- x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 10.2

各項を簡約します。

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ステップ 10.2.1

$5$ に $1$ をかけます。

$\frac{5 + 5 (- x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 10.2.2

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{5 - 5 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 10.3

項を並べ替えます。

$\frac{- 5 x^{2} + 5}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

微分積分 例

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