微分積分例

$y = {(x + 3)}^{2} e^{4 x}$

ステップ 1

${(x + 3)}^{2}$ を $(x + 3) (x + 3)$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [(x + 3) (x + 3) e^{4 x}]$

ステップ 2

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 3) (x + 3)$ を展開します。

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ステップ 2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [(x (x + 3) + 3 (x + 3)) e^{4 x}]$

ステップ 2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)) e^{4 x}]$

ステップ 2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) e^{4 x}]$

ステップ 3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) e^{4 x}]$

ステップ 3.1.2

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3) e^{4 x}]$

ステップ 3.1.3

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 3 x + 3 x + 9) e^{4 x}]$

ステップ 3.2

$3 x$ と $3 x$ をたし算します。

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x}]$

ステップ 4

$f (x) = x^{2} + 6 x + 9$ および $g (x) = e^{4 x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(x^{2} + 6 x + 9) \frac{d}{d x} [e^{4 x}] + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

ステップ 5

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 x$ とします。

$(x^{2} + 6 x + 9) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

ステップ 5.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$(x^{2} + 6 x + 9) (e^{u} \frac{d}{d x} [4 x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

ステップ 5.3

$u$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$(x^{2} + 6 x + 9) (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

ステップ 6

微分します。

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ステップ 6.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

ステップ 6.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} (4 \cdot 1) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

ステップ 6.3

式を簡約します。

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ステップ 6.3.1

$4$ に $1$ をかけます。

$(x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} \cdot 4 + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

ステップ 6.3.2

$4$ を $(x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x}$ の左に移動させます。

$4 \cdot ((x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x}) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

ステップ 6.4

総和則では、 $x^{2} + 6 x + 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9]$ です。

$4 (x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} + e^{4 x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9])$

ステップ 6.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9])$

ステップ 6.6

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 (x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

ステップ 6.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

ステップ 6.8

$6$ に $1$ をかけます。

$4 (x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + 6 + \frac{d}{d x} [9])$

ステップ 6.9

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$4 (x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + 6 + 0)$

ステップ 6.10

$2 x + 6$ と $0$ をたし算します。

$4 (x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + 6)$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$(4 x^{2} + 4 (6 x) + 4 \cdot 9) e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + 6)$

ステップ 7.2

分配則を当てはめます。

$4 x^{2} e^{4 x} + 4 (6 x) e^{4 x} + 4 \cdot 9 e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + 6)$

ステップ 7.3

分配則を当てはめます。

$4 x^{2} e^{4 x} + 4 (6 x) e^{4 x} + 4 \cdot 9 e^{4 x} + e^{4 x} (2 x) + e^{4 x} \cdot 6$

ステップ 7.4

項をまとめます。

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ステップ 7.4.1

$6$ に $4$ をかけます。

$4 x^{2} e^{4 x} + 24 x e^{4 x} + 4 \cdot 9 e^{4 x} + e^{4 x} (2 x) + e^{4 x} \cdot 6$

ステップ 7.4.2

$4$ に $9$ をかけます。

$4 x^{2} e^{4 x} + 24 x e^{4 x} + 36 e^{4 x} + e^{4 x} (2 x) + e^{4 x} \cdot 6$

ステップ 7.4.3

$6$ を $e^{4 x}$ の左に移動させます。

$4 x^{2} e^{4 x} + 24 x e^{4 x} + 36 e^{4 x} + e^{4 x} (2 x) + 6 \cdot e^{4 x}$

ステップ 7.4.4

$24 x e^{4 x}$ と $e^{4 x} (2 x)$ をたし算します。

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ステップ 7.4.4.1

$e^{4 x}$ を移動させます。

$4 x^{2} e^{4 x} + 24 x e^{4 x} + 2 x e^{4 x} + 36 e^{4 x} + 6 e^{4 x}$

ステップ 7.4.4.2

$24 x e^{4 x}$ と $2 x e^{4 x}$ をたし算します。

$4 x^{2} e^{4 x} + 26 x e^{4 x} + 36 e^{4 x} + 6 e^{4 x}$

ステップ 7.4.5

$36 e^{4 x}$ と $6 e^{4 x}$ をたし算します。

$4 x^{2} e^{4 x} + 26 x e^{4 x} + 42 e^{4 x}$

ステップ 7.5

項を並べ替えます。

$4 e^{4 x} x^{2} + 26 e^{4 x} x + 42 e^{4 x}$

ステップ 7.6

$4 e^{4 x} x^{2} + 26 e^{4 x} x + 42 e^{4 x}$ の因数を並べ替えます。

$4 x^{2} e^{4 x} + 26 x e^{4 x} + 42 e^{4 x}$

微分積分 例

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