微分積分例

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{2} + 1}$ を ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\ln (x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})]$

ステップ 2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$ です。

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 4

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x^{2} + 1$ とします。

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

ステップ 4.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

ステップ 4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x^{2} + 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

ステップ 5

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

ステップ 6

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

ステップ 7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

ステップ 8

分子を簡約します。

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ステップ 8.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

ステップ 8.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

ステップ 9

分数をまとめます。

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ステップ 9.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

ステップ 9.2

$\frac{1}{2}$ と ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

ステップ 9.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

ステップ 10

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))$

ステップ 11

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1]))$

ステップ 12

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0))$

ステップ 13

項を簡約します。

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ステップ 13.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x))$

ステップ 13.2

$2$ と $\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{2}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x)$

ステップ 13.3

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 13.4

共通因数を約分します。

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 13.5

式を書き換えます。

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 14

簡約します。

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ステップ 14.1

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}})$ の因数を並べ替えます。

$(1 + \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 14.2

$1 + \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{1 + \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 14.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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ステップ 14.3.1

$\frac{1 + \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1 + \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 14.3.2

まとめる。

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}})}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 14.4

分配則を当てはめます。

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 14.5

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 14.5.1

共通因数を約分します。

ステップ 14.5.2

式を書き換えます。

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 14.6

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 14.7

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

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ステップ 14.7.1

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ と $x$ を並べ替えます。

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + x}{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 14.7.2

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を $x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 14.7.3

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 14.7.4

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})$ で因数分解します。

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 14.8

項を並べ替えます。

$\frac{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 14.9

共通因数を約分します。

$\frac{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 14.10

式を書き換えます。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

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