微分積分例

$x^{e^{x}}$

ステップ 1

対数の性質を利用して微分を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$x^{e^{x}}$ を $e^{\ln (x^{e^{x}})}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{e^{x}})}]$

ステップ 1.2

$e^{x}$ を対数の外に移動させて、 $\ln (x^{e^{x}})$ を展開します。

$\frac{d}{d x} [e^{e^{x} \ln (x)}]$

ステップ 2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = e^{x} \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $e^{x} \ln (x)$ とします。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)]$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u} \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $e^{x} \ln (x)$ で置き換えます。

$e^{e^{x} \ln (x)} \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)]$

ステップ 3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{e^{x} \ln (x)} (e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

ステップ 4

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$e^{e^{x} \ln (x)} (e^{x} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

ステップ 5

$e^{x}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$e^{e^{x} \ln (x)} (\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

ステップ 6

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{e^{x} \ln (x)} (\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) e^{x})$

ステップ 7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$e^{e^{x} \ln (x)} \frac{e^{x}}{x} + e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

ステップ 7.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$e^{e^{x} \ln (x)}$ と $\frac{e^{x}}{x}$ をまとめます。

$\frac{e^{e^{x} \ln (x)} e^{x}}{x} + e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

ステップ 7.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x} + e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

ステップ 7.2.3

指数を足して $e^{e^{x} \ln (x)}$ に $e^{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1

$e^{x}$ を移動させます。

$\frac{e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x} + e^{x} e^{e^{x} \ln (x)} \ln (x)$

ステップ 7.2.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x} + e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x)$

ステップ 7.2.4

$e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$\frac{e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x} + \frac{e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

ステップ 7.2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{e^{e^{x} \ln (x) + x} + e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

ステップ 7.3

項を並べ替えます。

$\frac{e^{x + e^{x} \ln (x)} x \ln (x) + e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x}$

微分積分 例

微分積分例