微分積分例

$f (x) = (3 x - 8) \ln (2 x^{5} + 3)$

ステップ 1

$f (x) = 3 x - 8$ および $g (x) = \ln (2 x^{5} + 3)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(3 x - 8) \frac{d}{d x} [\ln (2 x^{5} + 3)] + \ln (2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 8]$

ステップ 2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 2 x^{5} + 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x^{5} + 3$ とします。

$(3 x - 8) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x^{5} + 3]) + \ln (2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 8]$

ステップ 2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$(3 x - 8) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x^{5} + 3]) + \ln (2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 8]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $2 x^{5} + 3$ で置き換えます。

$(3 x - 8) (\frac{1}{2 x^{5} + 3} \frac{d}{d x} [2 x^{5} + 3]) + \ln (2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 8]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $2 x^{5} + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$(3 x - 8) \frac{1}{2 x^{5} + 3} (\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 8]$

ステップ 3.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{5}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$(3 x - 8) \frac{1}{2 x^{5} + 3} (2 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 8]$

ステップ 3.3

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(3 x - 8) \frac{1}{2 x^{5} + 3} (2 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 8]$

ステップ 3.4

$5$ に $2$ をかけます。

$(3 x - 8) \frac{1}{2 x^{5} + 3} (10 x^{4} + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 8]$

ステップ 3.5

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$(3 x - 8) \frac{1}{2 x^{5} + 3} (10 x^{4} + 0) + \ln (2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 8]$

ステップ 3.6

分数をまとめます。

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ステップ 3.6.1

$10 x^{4}$ と $0$ をたし算します。

$(3 x - 8) \frac{1}{2 x^{5} + 3} (10 x^{4}) + \ln (2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 8]$

ステップ 3.6.2

$10$ と $\frac{1}{2 x^{5} + 3}$ をまとめます。

$(3 x - 8) \frac{10}{2 x^{5} + 3} x^{4} + \ln (2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 8]$

ステップ 3.6.3

$x^{4}$ と $\frac{10}{2 x^{5} + 3}$ をまとめます。

$(3 x - 8) \frac{x^{4} \cdot 10}{2 x^{5} + 3} + \ln (2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 8]$

ステップ 3.6.4

$10$ を $x^{4}$ の左に移動させます。

$(3 x - 8) \frac{10 \cdot x^{4}}{2 x^{5} + 3} + \ln (2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 8]$

ステップ 3.7

総和則では、 $3 x - 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ です。

$(3 x - 8) \frac{10 x^{4}}{2 x^{5} + 3} + \ln (2 x^{5} + 3) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 8])$

ステップ 3.8

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(3 x - 8) \frac{10 x^{4}}{2 x^{5} + 3} + \ln (2 x^{5} + 3) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])$

ステップ 3.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(3 x - 8) \frac{10 x^{4}}{2 x^{5} + 3} + \ln (2 x^{5} + 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8])$

ステップ 3.10

$3$ に $1$ をかけます。

$(3 x - 8) \frac{10 x^{4}}{2 x^{5} + 3} + \ln (2 x^{5} + 3) (3 + \frac{d}{d x} [- 8])$

ステップ 3.11

$- 8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 8$ の微分係数は $0$ です。

$(3 x - 8) \frac{10 x^{4}}{2 x^{5} + 3} + \ln (2 x^{5} + 3) (3 + 0)$

ステップ 3.12

式を簡約します。

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ステップ 3.12.1

$3$ と $0$ をたし算します。

$(3 x - 8) \frac{10 x^{4}}{2 x^{5} + 3} + \ln (2 x^{5} + 3) \cdot 3$

ステップ 3.12.2

$3$ を $\ln (2 x^{5} + 3)$ の左に移動させます。

$(3 x - 8) \frac{10 x^{4}}{2 x^{5} + 3} + 3 \ln (2 x^{5} + 3)$

微分積分 例

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