微分積分例

$f (x) = \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

ステップ 2

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

ステップ 2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{x^{2} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 4

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 4.1

$x^{2}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{\frac{x^{2}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 4.2

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{x \cdot x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 4.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{x \cdot x}{x^{1}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 4.2.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 4.2.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 4.2.2.4

式を書き換えます。

$\frac{\frac{x}{1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 4.2.2.5

$x$ を $1$ で割ります。

$\frac{x - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 4.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x - \ln (x) (2 x)}{x^{4}}$

ステップ 4.4

くくりだして簡約します。

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ステップ 4.4.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

ステップ 4.4.2

$x$ を $x - 2 \ln (x) x$ で因数分解します。

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ステップ 4.4.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{1} - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

ステップ 4.4.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot 1 - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

ステップ 4.4.2.3

$x$ を $- 2 \ln (x) x$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot 1 + x (- 2 \ln (x))}{x^{4}}$

ステップ 4.4.2.4

$x$ を $x \cdot 1 + x (- 2 \ln (x))$ で因数分解します。

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x^{4}}$

ステップ 5

共通因数を約分します。

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ステップ 5.1

$x$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x \cdot x^{3}}$

ステップ 5.2

共通因数を約分します。

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x \cdot x^{3}}$

ステップ 5.3

式を書き換えます。

$\frac{1 - 2 \ln (x)}{x^{3}}$

ステップ 6

対数の中の $2$ を移動させて $- 2 \ln (x)$ を簡約します。

$\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

微分積分 例

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