微分積分例

$x^{2} - y^{2} = 16$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x^{2} - y^{2}) = \frac{d}{d x} (16)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

微分します。

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ステップ 2.1.1

総和則では、 $x^{2} - y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

ステップ 2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- y^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$2 x - \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 2.2.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$2 x - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x - (2 u \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.2.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$2 x - (2 y \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 x - (2 y y')$

ステップ 2.2.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$2 x - 2 y y'$

ステップ 2.3

項を並べ替えます。

$- 2 y y' + 2 x$

ステップ 3

$16$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $16$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$- 2 y y' + 2 x = 0$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺から $2 x$ を引きます。

$- 2 y y' = - 2 x$

ステップ 5.2

$- 2 y y' = - 2 x$ の各項を $- 2 y$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.1

$- 2 y y' = - 2 x$ の各項を $- 2 y$ で割ります。

$\frac{- 2 y y'}{- 2 y} = \frac{- 2 x}{- 2 y}$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 y y'}{- 2 y} = \frac{- 2 x}{- 2 y}$

ステップ 5.2.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{- 2 y}$

ステップ 5.2.2.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{- 2 y}$

ステップ 5.2.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 2 x}{- 2 y}$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.1.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{- 2 x}{- 2 y}$

ステップ 5.2.3.1.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{x}{y}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y}$

微分積分 例

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