微分積分例

$x^{4} + y^{4} = 16$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x^{4} + y^{4}) = \frac{d}{d x} (16)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

微分します。

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ステップ 2.1.1

総和則では、 $x^{4} + y^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [y^{4}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [y^{4}]$

ステップ 2.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [y^{4}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [y^{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$4 x^{3} + \frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + 4 u^{3} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$4 x^{3} + 4 y^{3} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$4 x^{3} + 4 y^{3} y'$

ステップ 3

$16$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $16$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$4 x^{3} + 4 y^{3} y' = 0$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺から $4 x^{3}$ を引きます。

$4 y^{3} y' = - 4 x^{3}$

ステップ 5.2

$4 y^{3} y' = - 4 x^{3}$ の各項を $4 y^{3}$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.1

$4 y^{3} y' = - 4 x^{3}$ の各項を $4 y^{3}$ で割ります。

$\frac{4 y^{3} y'}{4 y^{3}} = \frac{- 4 x^{3}}{4 y^{3}}$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 y^{3} y'}{4 y^{3}} = \frac{- 4 x^{3}}{4 y^{3}}$

ステップ 5.2.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y^{3} y'}{y^{3}} = \frac{- 4 x^{3}}{4 y^{3}}$

ステップ 5.2.2.2

$y^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y^{3} y'}{y^{3}} = \frac{- 4 x^{3}}{4 y^{3}}$

ステップ 5.2.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 4 x^{3}}{4 y^{3}}$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

$- 4$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.1.1

$4$ を $- 4 x^{3}$ で因数分解します。

$y' = \frac{4 (- x^{3})}{4 y^{3}}$

ステップ 5.2.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.1.2.1

$4$ を $4 y^{3}$ で因数分解します。

$y' = \frac{4 (- x^{3})}{4 (y^{3})}$

ステップ 5.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{4 (- x^{3})}{4 y^{3}}$

ステップ 5.2.3.1.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{- x^{3}}{y^{3}}$

ステップ 5.2.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{x^{3}}{y^{3}}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{3}}{y^{3}}$

微分積分 例

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