微分積分例

$\tan (\frac{x}{y}) = x + y$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (\tan (\frac{x}{y})) = \frac{d}{d x} (x + y)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = \frac{x}{y}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x}{y}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

ステップ 2.1.2

$u$ に関する $\tan (u)$ の微分係数は $\sec^{2} (u)$ です。

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x}{y}$ で置き換えます。

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

ステップ 2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

ステップ 2.3

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

ステップ 2.3.2

$y$ に $1$ をかけます。

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) \frac{y - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) \frac{y - x y'}{y^{2}}$

ステップ 2.5

$\sec^{2} (\frac{x}{y})$ と $\frac{y - x y'}{y^{2}}$ をまとめます。

$\frac{\sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y')}{y^{2}}$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $x + y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$1 + y'$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$\frac{\sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y')}{y^{2}} = 1 + y'$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

両辺に $y^{2}$ を掛けます。

$\frac{\sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y')}{y^{2}} y^{2} = (1 + y') y^{2}$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$\frac{\sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y')}{y^{2}} y^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.1

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y')}{y^{2}} y^{2} = (1 + y') y^{2}$

ステップ 5.2.1.1.1.2

式を書き換えます。

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y') = (1 + y') y^{2}$

ステップ 5.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) y + \sec^{2} (\frac{x}{y}) (- x y') = (1 + y') y^{2}$

ステップ 5.2.1.1.3

式を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1.3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) y - \sec^{2} (\frac{x}{y}) (x y') = (1 + y') y^{2}$

ステップ 5.2.1.1.3.2

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) y - \sec^{2} (\frac{x}{y}) (x y')$ の因数を並べ替えます。

$y \sec^{2} (\frac{x}{y}) - x y' \sec^{2} (\frac{x}{y}) = (1 + y') y^{2}$

ステップ 5.2.1.1.3.3

$x$ を移動させます。

$y \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) = (1 + y') y^{2}$

ステップ 5.2.1.1.3.4

$y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ と $- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y})$ を並べ替えます。

$- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y \sec^{2} (\frac{x}{y}) = (1 + y') y^{2}$

ステップ 5.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$(1 + y') y^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1

分配則を当てはめます。

$- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y \sec^{2} (\frac{x}{y}) = 1 y^{2} + y' y^{2}$

ステップ 5.2.2.1.2

式を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1.2.1

$y^{2}$ に $1$ をかけます。

$- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y \sec^{2} (\frac{x}{y}) = y^{2} + y' y^{2}$

ステップ 5.2.2.1.2.2

$y^{2}$ と $y' y^{2}$ を並べ替えます。

$- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y \sec^{2} (\frac{x}{y}) = y' y^{2} + y^{2}$

ステップ 5.3

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.3.1

方程式の両辺から $y' y^{2}$ を引きます。

$- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y' y^{2} = y^{2}$

ステップ 5.3.2

方程式の両辺から $y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ を引きます。

$- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y' y^{2} = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$

ステップ 5.3.3

$y'$ を $- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y' y^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.3.1

$y'$ を $- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y})$ で因数分解します。

$y' (- 1 x \sec^{2} (\frac{x}{y})) - y' y^{2} = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$

ステップ 5.3.3.2

$y'$ を $- y' y^{2}$ で因数分解します。

$y' (- 1 x \sec^{2} (\frac{x}{y})) + y' (- 1 y^{2}) = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$

ステップ 5.3.3.3

$y'$ を $y' (- 1 x \sec^{2} (\frac{x}{y})) + y' (- 1 y^{2})$ で因数分解します。

$y' (- 1 x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - 1 y^{2}) = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$

ステップ 5.3.4

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$y' (- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - 1 y^{2}) = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$

ステップ 5.3.5

$- 1 y^{2}$ を $- y^{2}$ に書き換えます。

$y' (- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}) = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$

ステップ 5.3.6

$y' (- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}) = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ の各項を $- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.6.1

$y' (- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}) = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ の各項を $- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}$ で割ります。

$\frac{y' (- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2})}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}} = \frac{y^{2}}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}} + \frac{- y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

ステップ 5.3.6.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.2.1

$- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.2.1.1

共通因数を約分します。

ステップ 5.3.6.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{y^{2}}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}} + \frac{- y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

ステップ 5.3.6.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.6.3.1

1つの分数にまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.3.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{y^{2}}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}} - \frac{y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

ステップ 5.3.6.3.1.2

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

ステップ 5.3.6.3.2

分子を簡約します。

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ステップ 5.3.6.3.2.1

$y$ を $y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.3.2.1.1

$y$ を $y^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{y \cdot y - y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

ステップ 5.3.6.3.2.1.2

$y$ を $- y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ で因数分解します。

$y' = \frac{y \cdot y + y (- 1 \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

ステップ 5.3.6.3.2.1.3

$y$ を $y \cdot y + y (- 1 \sec^{2} (\frac{x}{y}))$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (y - 1 \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

ステップ 5.3.6.3.2.2

$- 1 \sec^{2} (\frac{x}{y})$ を $- \sec^{2} (\frac{x}{y})$ に書き換えます。

$y' = \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

ステップ 5.3.6.3.3

くくりだして簡約します。

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ステップ 5.3.6.3.3.1

$- 1$ を $- x \sec^{2} (\frac{x}{y})$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- (x \sec^{2} (\frac{x}{y})) - y^{2}}$

ステップ 5.3.6.3.3.2

$- 1$ を $- y^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- (x \sec^{2} (\frac{x}{y})) - (y^{2})}$

ステップ 5.3.6.3.3.3

$- 1$ を $- (x \sec^{2} (\frac{x}{y})) - (y^{2})$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- (x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y^{2})}$

ステップ 5.3.6.3.3.4

負の数を書き換えます。

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ステップ 5.3.6.3.3.4.1

$- (x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y^{2})$ を $- 1 (x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y^{2})$ に書き換えます。

$y' = \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- 1 (x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y^{2})}$

ステップ 5.3.6.3.3.4.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y^{2}}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y^{2}}$

微分積分 例

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