微分積分例

$3 x y - x^{2} - 4 = 0$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (3 x y - x^{2} - 4) = \frac{d}{d x} (0)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $3 x y - x^{2} - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [3 x y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x y$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x y]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 2.2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$3 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$3 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 2.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 2.2.5

$y$ に $1$ をかけます。

$3 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 (x y' + y) - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (x y' + y) - (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 2.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$3 (x y' + y) - 2 x + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 2.4

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$3 (x y' + y) - 2 x + 0$

ステップ 2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

分配則を当てはめます。

$3 (x y') + 3 y - 2 x + 0$

ステップ 2.5.2

$3 x y' + 3 y - 2 x$ と $0$ をたし算します。

$3 x y' + 3 y - 2 x$

ステップ 2.5.3

項を並べ替えます。

$3 x y' - 2 x + 3 y$

ステップ 3

$0$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $0$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$3 x y' - 2 x + 3 y = 0$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

方程式の両辺に $2 x$ を足します。

$3 x y' + 3 y = 2 x$

ステップ 5.1.2

方程式の両辺から $3 y$ を引きます。

$3 x y' = 2 x - 3 y$

ステップ 5.2

$3 x y' = 2 x - 3 y$ の各項を $3 x$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$3 x y' = 2 x - 3 y$ の各項を $3 x$ で割ります。

$\frac{3 x y'}{3 x} = \frac{2 x}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x y'}{3 x} = \frac{2 x}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

ステップ 5.2.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{x y'}{x} = \frac{2 x}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

ステップ 5.2.2.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y'}{x} = \frac{2 x}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

ステップ 5.2.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{2 x}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{2 x}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

ステップ 5.2.3.1.1.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{2}{3} + \frac{- 3 y}{3 x}$

ステップ 5.2.3.1.2

$- 3$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.2.1

$3$ を $- 3 y$ で因数分解します。

$y' = \frac{2}{3} + \frac{3 (- y)}{3 x}$

ステップ 5.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.2.2.1

$3$ を $3 x$ で因数分解します。

$y' = \frac{2}{3} + \frac{3 (- y)}{3 (x)}$

ステップ 5.2.3.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{2}{3} + \frac{3 (- y)}{3 x}$

ステップ 5.2.3.1.2.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{2}{3} + \frac{- y}{x}$

ステップ 5.2.3.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{2}{3} - \frac{y}{x}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{3} - \frac{y}{x}$

微分積分 例

微分積分例