微分積分例

$e^{y} \cos (x) = 6 + \sin (x y)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (e^{y} \cos (x)) = \frac{d}{d x} (6 + \sin (x y))$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

$f (x) = e^{y}$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{y} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

ステップ 2.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$e^{y} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

ステップ 2.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$e^{y} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{y} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.3.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$e^{y} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{y} \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$e^{y} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{y} y'$

ステップ 2.5

項を並べ替えます。

$- e^{y} \sin (x) + e^{y} \cos (x) y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

微分します。

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ステップ 3.1.1

総和則では、 $6 + \sin (x y)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$ です。

$\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$

ステップ 3.1.2

$6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [\sin (x y)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = x y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x y$ とします。

$0 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 3.2.1.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$0 + \cos (u) \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 3.2.1.3

$u$ のすべての発生を $x y$ で置き換えます。

$0 + \cos (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 3.2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$0 + \cos (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$0 + \cos (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + \cos (x y) (x y' + y \cdot 1)$

ステップ 3.2.5

$y$ に $1$ をかけます。

$0 + \cos (x y) (x y' + y)$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

分配則を当てはめます。

$0 + \cos (x y) (x y') + \cos (x y) y$

ステップ 3.3.2

$0$ と $\cos (x y) (x y') + \cos (x y) y$ をたし算します。

$\cos (x y) (x y') + \cos (x y) y$

ステップ 3.3.3

項を並べ替えます。

$x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$- e^{y} \sin (x) + e^{y} \cos (x) y' = x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

左辺を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$- e^{y} \sin (x) + e^{y} \cos (x) y'$ の因数を並べ替えます。

$- e^{y} \sin (x) + y' e^{y} \cos (x) = x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$

ステップ 5.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$ の因数を並べ替えます。

$- e^{y} \sin (x) + y' e^{y} \cos (x) = x y' \cos (x y) + y \cos (x y)$

ステップ 5.3

方程式の両辺から $x y' \cos (x y)$ を引きます。

$- e^{y} \sin (x) + y' e^{y} \cos (x) - x y' \cos (x y) = y \cos (x y)$

ステップ 5.4

方程式の両辺に $e^{y} \sin (x)$ を足します。

$y' e^{y} \cos (x) - x y' \cos (x y) = y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)$

ステップ 5.5

$y'$ を $y' e^{y} \cos (x) - x y' \cos (x y)$ で因数分解します。

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ステップ 5.5.1

$y'$ を $y' e^{y} \cos (x)$ で因数分解します。

$y' (e^{y} \cos (x)) - x y' \cos (x y) = y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)$

ステップ 5.5.2

$y'$ を $- x y' \cos (x y)$ で因数分解します。

$y' (e^{y} \cos (x)) + y' (- x \cos (x y)) = y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)$

ステップ 5.5.3

$y'$ を $y' (e^{y} \cos (x)) + y' (- x \cos (x y))$ で因数分解します。

$y' (e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)$

ステップ 5.6

$y' (e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)$ の各項を $e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.6.1

$y' (e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)$ の各項を $e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)$ で割ります。

$\frac{y' (e^{y} \cos (x) - x \cos (x y))}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)} + \frac{e^{y} \sin (x)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)}$

ステップ 5.6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.6.2.1

$e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (e^{y} \cos (x) - x \cos (x y))}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)} + \frac{e^{y} \sin (x)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)}$

ステップ 5.6.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{y \cos (x y)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)} + \frac{e^{y} \sin (x)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)}$

ステップ 5.6.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.6.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)}$

微分積分 例

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