微分積分例

${(y - 3)}^{2} = 4 (x - 5)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} ({(y - 3)}^{2}) = \frac{d}{d x} (4 (x - 5))$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

${(y - 3)}^{2}$ を $(y - 3) (y - 3)$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [(y - 3) (y - 3)]$

ステップ 2.2

分配法則（FOIL法）を使って $(y - 3) (y - 3)$ を展開します。

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ステップ 2.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [y (y - 3) - 3 (y - 3)]$

ステップ 2.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 (y - 3)]$

ステップ 2.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3]$

ステップ 2.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

$y$ に $y$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [y^{2} + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3]$

ステップ 2.3.1.2

$- 3$ を $y$ の左に移動させます。

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 3 \cdot y - 3 y - 3 \cdot - 3]$

ステップ 2.3.1.3

$- 3$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 3 y - 3 y + 9]$

ステップ 2.3.2

$- 3 y$ から $3 y$ を引きます。

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 6 y + 9]$

ステップ 2.4

総和則では、 $y^{2} - 6 y + 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$ です。

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 2.5

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 2.5.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 2.5.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 2.6

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 2.7

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 y$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [y]$ です。

$2 y y' - 6 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 2.8

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 y y' - 6 y' + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 2.9

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$2 y y' - 6 y' + 0$

ステップ 2.10

$2 y y' - 6 y'$ と $0$ をたし算します。

$2 y y' - 6 y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 (x - 5)$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x - 5]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x - 5]$

ステップ 3.2

総和則では、 $x - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$4 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

ステップ 3.4

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$4 (1 + 0)$

ステップ 3.5

式を簡約します。

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ステップ 3.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$4 \cdot 1$

ステップ 3.5.2

$4$ に $1$ をかけます。

$4$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$2 y y' - 6 y' = 4$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

$2 y'$ を $2 y y' - 6 y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.1.1

$2 y'$ を $2 y y'$ で因数分解します。

$2 y' y - 6 y' = 4$

ステップ 5.1.2

$2 y'$ を $- 6 y'$ で因数分解します。

$2 y' y + 2 y' \cdot - 3 = 4$

ステップ 5.1.3

$2 y'$ を $2 y' y + 2 y' \cdot - 3$ で因数分解します。

$2 y' (y - 3) = 4$

ステップ 5.2

$2 y' (y - 3) = 4$ の各項を $2 (y - 3)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.1

$2 y' (y - 3) = 4$ の各項を $2 (y - 3)$ で割ります。

$\frac{2 y' (y - 3)}{2 (y - 3)} = \frac{4}{2 (y - 3)}$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y' (y - 3)}{2 (y - 3)} = \frac{4}{2 (y - 3)}$

ステップ 5.2.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y' (y - 3)}{y - 3} = \frac{4}{2 (y - 3)}$

ステップ 5.2.2.2

$y - 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (y - 3)}{y - 3} = \frac{4}{2 (y - 3)}$

ステップ 5.2.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{4}{2 (y - 3)}$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.1.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 \cdot 2}{2 (y - 3)}$

ステップ 5.2.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.1.2.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{2 \cdot 2}{2 (y - 3)}$

ステップ 5.2.3.1.2.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{2}{y - 3}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{y - 3}$

微分積分 例

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