微分積分例

$y = {(5 x^{2} + 11 x)}^{20}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(5 x^{2} + 11 x)}^{20})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = x^{20}$ および $g (x) = 5 x^{2} + 11 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $5 x^{2} + 11 x$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{20}] \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 11 x]$

ステップ 3.1.2

$n = 20$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$20 u^{19} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 11 x]$

ステップ 3.1.3

$u$ のすべての発生を $5 x^{2} + 11 x$ で置き換えます。

$20 {(5 x^{2} + 11 x)}^{19} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 11 x]$

ステップ 3.2

微分します。

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ステップ 3.2.1

総和則では、 $5 x^{2} + 11 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11 x]$ です。

$20 {(5 x^{2} + 11 x)}^{19} (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11 x])$

ステップ 3.2.2

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{2}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$20 {(5 x^{2} + 11 x)}^{19} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [11 x])$

ステップ 3.2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$20 {(5 x^{2} + 11 x)}^{19} (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [11 x])$

ステップ 3.2.4

$2$ に $5$ をかけます。

$20 {(5 x^{2} + 11 x)}^{19} (10 x + \frac{d}{d x} [11 x])$

ステップ 3.2.5

$11$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $11 x$ の微分係数は $11 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$20 {(5 x^{2} + 11 x)}^{19} (10 x + 11 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$20 {(5 x^{2} + 11 x)}^{19} (10 x + 11 \cdot 1)$

ステップ 3.2.7

$11$ に $1$ をかけます。

$20 {(5 x^{2} + 11 x)}^{19} (10 x + 11)$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = 20 {(5 x^{2} + 11 x)}^{19} (10 x + 11)$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = 20 {(5 x^{2} + 11 x)}^{19} (10 x + 11)$

微分積分 例

微分積分例