微分積分例

$y = {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ および $g (x) = 10 x^{3} + 7$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $10 x^{3} + 7$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [10 x^{3} + 7]$

ステップ 3.1.2

$n = \frac{3}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [10 x^{3} + 7]$

ステップ 3.1.3

$u$ のすべての発生を $10 x^{3} + 7$ で置き換えます。

$\frac{3}{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [10 x^{3} + 7]$

ステップ 3.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{3}{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x^{3} + 7]$

ステップ 3.3

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{3}{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x^{3} + 7]$

ステップ 3.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3}{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x^{3} + 7]$

ステップ 3.5

分子を簡約します。

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ステップ 3.5.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{3}{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x^{3} + 7]$

ステップ 3.5.2

$3$ から $2$ を引きます。

$\frac{3}{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [10 x^{3} + 7]$

ステップ 3.6

$\frac{3}{2}$ と ${(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [10 x^{3} + 7]$

ステップ 3.7

総和則では、 $10 x^{3} + 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$ です。

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

ステップ 3.8

$10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $10 x^{3}$ の微分係数は $10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (10 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

ステップ 3.9

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (10 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7])$

ステップ 3.10

$3$ に $10$ をかけます。

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (30 x^{2} + \frac{d}{d x} [7])$

ステップ 3.11

$7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (30 x^{2} + 0)$

ステップ 3.12

項を簡約します。

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ステップ 3.12.1

$30 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (30 x^{2})$

ステップ 3.12.2

$30$ と $\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{30 (3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}})}{2} x^{2}$

ステップ 3.12.3

$3$ に $30$ をかけます。

$\frac{90 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} x^{2}$

ステップ 3.12.4

$\frac{90 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{90 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2}$

ステップ 3.12.5

$2$ を $90 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 (45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2}$

ステップ 3.13

共通因数を約分します。

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ステップ 3.13.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2 (1)}$

ステップ 3.13.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.13.3

式を書き換えます。

$\frac{45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{1}$

ステップ 3.13.4

$45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ を $1$ で割ります。

$45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$

ステップ 3.14

$45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ の因数を並べ替えます。

$45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = 45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = 45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}$

微分積分 例

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