微分積分例

$f (x) = \frac{2 x^{2} + 3}{4 x^{2} + 5}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$f (x) = 2 x^{2} + 3$ および $g (x) = 4 x^{2} + 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(4 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3] - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $2 x^{2} + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{(4 x^{2} + 5) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{(4 x^{2} + 5) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(4 x^{2} + 5) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{(4 x^{2} + 5) (4 x + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.5

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(4 x^{2} + 5) (4 x + 0) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.1

$4 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(4 x^{2} + 5) (4 x) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.6.2

$4$ を $4 x^{2} + 5$ の左に移動させます。

$\frac{4 \cdot (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.7

総和則では、 $4 x^{2} + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.8

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{2}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.9

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.10

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (8 x + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (8 x + 0)}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.12

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.12.1

$8 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (8 x)}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.12.2

$8$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - 8 (2 x^{2} + 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(4 (4 x^{2}) + 4 \cdot 5) x - 8 (2 x^{2} + 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{4 (4 x^{2}) x + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2} + 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{4 (4 x^{2}) x + 4 \cdot 5 x + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.4

分配則を当てはめます。

$\frac{4 (4 x^{2}) x + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.5

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.3.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.5.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.5.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{4 (4 (x \cdot x^{2})) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.5.1.1.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.5.1.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{4 (4 (x^{1} x^{2})) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.5.1.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{4 (4 x^{1 + 2}) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.5.1.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{4 (4 x^{3}) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.5.1.2

$4$ に $4$ をかけます。

$\frac{16 x^{3} + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.5.1.3

$4$ に $5$ をかけます。

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.5.1.4

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 1.1.3.5.1.4.1

$x$ を移動させます。

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 (x \cdot x^{2})) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.5.1.4.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.5.1.4.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 (x^{1} x^{2})) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.5.1.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 x^{1 + 2}) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.5.1.4.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 x^{3}) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.5.1.5

$2$ に $- 8$ をかけます。

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 16 x^{3} - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.5.1.6

$- 8$ に $3$ をかけます。

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 16 x^{3} - 24 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.5.2

$16 x^{3} + 20 x - 16 x^{3} - 24 x$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 1.1.3.5.2.1

$16 x^{3}$ から $16 x^{3}$ を引きます。

$\frac{20 x + 0 - 24 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.5.2.2

$20 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{20 x - 24 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.5.3

$20 x$ から $24 x$ を引きます。

$\frac{- 4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.6

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$ です。

$- \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$4 x = 0$

ステップ 2.3

$4 x = 0$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1

$4 x = 0$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

ステップ 2.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{4}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$0$ を $4$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\frac{2 x^{2} + 3}{4 x^{2} + 5}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$\frac{2 {(0)}^{2} + 3}{4 {(0)}^{2} + 5}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{2 \cdot 0 + 3}{4 \cdot 0^{2} + 5}$

ステップ 4.1.2.1.2

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{0 + 3}{4 \cdot 0^{2} + 5}$

ステップ 4.1.2.1.3

$0$ と $3$ をたし算します。

$\frac{3}{4 \cdot 0^{2} + 5}$

ステップ 4.1.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 4.1.2.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{3}{4 \cdot 0 + 5}$

ステップ 4.1.2.2.2

$4$ に $0$ をかけます。

$\frac{3}{0 + 5}$

ステップ 4.1.2.2.3

$0$ と $5$ をたし算します。

$\frac{3}{5}$

ステップ 4.2

点のすべてを一覧にします。

$(0, \frac{3}{5})$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例