微分積分例

$f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 24 x + 6$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x^{3} + 3 x^{2} - 24 x + 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [6]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (6)$

ステップ 1.1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (6)$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (6)$

ステップ 1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (6)$

ステップ 1.1.2.3

$2$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = 3 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (6)$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 24 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 24$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 24 x$ の微分係数は $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = 3 x^{2} + 6 x - 24 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (6)$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} + 6 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (6)$

ステップ 1.1.3.3

$- 24$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 3 x^{2} + 6 x - 24 + \frac{d}{d x} (6)$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 3 x^{2} + 6 x - 24 + 0$

ステップ 1.1.4.2

$3 x^{2} + 6 x - 24$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 3 x^{2} + 6 x - 24$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 x^{2} + 6 x - 24$ です。

$3 x^{2} + 6 x - 24$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} + 6 x - 24 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$3 x^{2} + 6 x - 24 = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$3$ を $3 x^{2} + 6 x - 24$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1.1

$3$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$3 (x^{2}) + 6 x - 24 = 0$

ステップ 2.2.1.2

$3$ を $6 x$ で因数分解します。

$3 (x^{2}) + 3 (2 x) - 24 = 0$

ステップ 2.2.1.3

$3$ を $- 24$ で因数分解します。

$3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot - 8 = 0$

ステップ 2.2.1.4

$3$ を $3 x^{2} + 3 (2 x)$ で因数分解します。

$3 (x^{2} + 2 x) + 3 \cdot - 8 = 0$

ステップ 2.2.1.5

$3$ を $3 (x^{2} + 2 x) + 3 \cdot - 8$ で因数分解します。

$3 (x^{2} + 2 x - 8) = 0$

ステップ 2.2.2

因数分解。

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ステップ 2.2.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + 2 x - 8$ を因数分解します。

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ステップ 2.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 8$ で、その和が $2$ です。

$- 2, 4$

ステップ 2.2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$3 ((x - 2) (x + 4)) = 0$

ステップ 2.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$3 (x - 2) (x + 4) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 2 = 0$

$x + 4 = 0$

ステップ 2.4

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 2.5

$x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 2.6

最終解は $3 (x - 2) (x + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2, - 4$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $2, - 4$ です。

$2, - 4$

ステップ 4

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 2) \cup (2, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - 4)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 5$ で置換えます。

$f' (- 5) = 3 {(- 5)}^{2} + 6 (- 5) - 24$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$- 5$ を $2$ 乗します。

$f' (- 5) = 3 \cdot 25 + 6 (- 5) - 24$

ステップ 5.2.1.2

$3$ に $25$ をかけます。

$f' (- 5) = 75 + 6 (- 5) - 24$

ステップ 5.2.1.3

$6$ に $- 5$ をかけます。

$f' (- 5) = 75 - 30 - 24$

ステップ 5.2.2

数を引いて簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$75$ から $30$ を引きます。

$f' (- 5) = 45 - 24$

ステップ 5.2.2.2

$45$ から $24$ を引きます。

$f' (- 5) = 21$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $21$ です。

$21$

ステップ 5.3

$x = - 5$ で微分係数は $21$ です。これは正の値なので、関数は $(- \infty, - 4)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- \infty, - 4)$ で増加

ステップ 6

区間 $(- 4, 2)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f' (- 1) = 3 {(- 1)}^{2} + 6 (- 1) - 24$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f' (- 1) = 3 \cdot 1 + 6 (- 1) - 24$

ステップ 6.2.1.2

$3$ に $1$ をかけます。

$f' (- 1) = 3 + 6 (- 1) - 24$

ステップ 6.2.1.3

$6$ に $- 1$ をかけます。

$f' (- 1) = 3 - 6 - 24$

ステップ 6.2.2

数を引いて簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$3$ から $6$ を引きます。

$f' (- 1) = - 3 - 24$

ステップ 6.2.2.2

$- 3$ から $24$ を引きます。

$f' (- 1) = - 27$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 27$ です。

$- 27$

ステップ 6.3

$x = - 1$ で微分係数は $- 27$ です。これは負の値なので、関数は $(- 4, 2)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- 4, 2)$ で減少

ステップ 7

区間 $(2, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f' (3) = 3 {(3)}^{2} + 6 (3) - 24$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

指数を足して $3$ に ${(3)}^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1.1

$3$ に ${(3)}^{2}$ をかけます。

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ステップ 7.2.1.1.1.1

$3$ を $1$ 乗します。

$f' (3) = 3 {(3)}^{2} + 6 (3) - 24$

ステップ 7.2.1.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (3) = 3^{1 + 2} + 6 (3) - 24$

ステップ 7.2.1.1.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$f' (3) = 3^{3} + 6 (3) - 24$

ステップ 7.2.1.2

$3$ を $3$ 乗します。

$f' (3) = 27 + 6 (3) - 24$

ステップ 7.2.1.3

$6$ に $3$ をかけます。

$f' (3) = 27 + 18 - 24$

ステップ 7.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 7.2.2.1

$27$ と $18$ をたし算します。

$f' (3) = 45 - 24$

ステップ 7.2.2.2

$45$ から $24$ を引きます。

$f' (3) = 21$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $21$ です。

$21$

ステップ 7.3

$x = 3$ で微分係数は $21$ です。これは正の値なので、関数は $(2, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(2, \infty)$ で増加

ステップ 8

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \infty, - 4), (2, \infty)$ で増加

$(- 4, 2)$ で減少

ステップ 9

微分積分 例

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