微分積分例

$y = x^{3} - 6 x^{2} - 36 x$

ステップ 1

$y = x^{3} - 6 x^{2} - 36 x$ を関数で書きます。

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} - 36 x$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

総和則では、 $x^{3} - 6 x^{2} - 36 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

ステップ 2.1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

ステップ 2.1.2

$\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 x^{2}$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

ステップ 2.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

ステップ 2.1.2.3

$2$ に $- 6$ をかけます。

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [- 36 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

$- 36$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 36 x$ の微分係数は $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x - 36 \frac{d}{d x} x$

ステップ 2.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x - 36 \cdot 1$

ステップ 2.1.3.3

$- 36$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x - 36$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.2.1

総和則では、 $3 x^{2} - 12 x - 36$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (- 36)$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (- 36)$

ステップ 2.2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (- 36)$

ステップ 2.2.2.3

$2$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (- 36)$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [- 12 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.3.1

$- 12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 12 x$ の微分係数は $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 6 x - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 36)$

ステップ 2.2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 6 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 36)$

ステップ 2.2.3.3

$- 12$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 6 x - 12 + \frac{d}{d x} (- 36)$

ステップ 2.2.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.2.4.1

$- 36$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 36$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 6 x - 12 + 0$

ステップ 2.2.4.2

$6 x - 12$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 6 x - 12$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $6 x - 12$ です。

$6 x - 12$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $6 x - 12 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$6 x - 12 = 0$

ステップ 3.2

方程式の両辺に $12$ を足します。

$6 x = 12$

ステップ 3.3

$6 x = 12$ の各項を $6$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.1

$6 x = 12$ の各項を $6$ で割ります。

$\frac{6 x}{6} = \frac{12}{6}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 x}{6} = \frac{12}{6}$

ステップ 3.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{12}{6}$

ステップ 3.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

$12$ を $6$ で割ります。

$x = 2$

ステップ 4

二次導関数が $0$ である点を求めます。

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ステップ 4.1

$2$ を $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} - 36 x$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f (2) = {(2)}^{3} - 6 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

$2$ を $3$ 乗します。

$f (2) = 8 - 6 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2$

ステップ 4.1.2.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$f (2) = 8 - 6 \cdot 4 - 36 \cdot 2$

ステップ 4.1.2.1.3

$- 6$ に $4$ をかけます。

$f (2) = 8 - 24 - 36 \cdot 2$

ステップ 4.1.2.1.4

$- 36$ に $2$ をかけます。

$f (2) = 8 - 24 - 72$

ステップ 4.1.2.2

数を引いて簡約します。

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ステップ 4.1.2.2.1

$8$ から $24$ を引きます。

$f (2) = - 16 - 72$

ステップ 4.1.2.2.2

$- 16$ から $72$ を引きます。

$f (2) = - 88$

ステップ 4.1.2.3

最終的な答えは $- 88$ です。

$- 88$

ステップ 4.2

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} - 36 x$ で代入して $2$ 求めた点は、 $(2, - 88)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(2, - 88)$

ステップ 5

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, 2)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $1.9$ で置換えます。

$f'' (1.9) = 6 (1.9) - 12$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$6$ に $1.9$ をかけます。

$f'' (1.9) = 11.4 - 12$

ステップ 6.2.2

$11.4$ から $12$ を引きます。

$f'' (1.9) = - 0.6$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 0.6$ です。

$- 0.6$

ステップ 6.3

$1.9$ で二次導関数は $- 0.6$ です。これは負の値なので、 $(- \infty, 2)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \infty, 2)$ で減少

ステップ 7

区間 $(2, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $2.1$ で置換えます。

$f'' (2.1) = 6 (2.1) - 12$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$6$ に $2.1$ をかけます。

$f'' (2.1) = 12.6 - 12$

ステップ 7.2.2

$12.6$ から $12$ を引きます。

$f'' (2.1) = 0.6$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $0.6$ です。

$0.6$

ステップ 7.3

$2.1$ で二次導関数は $0.6$ です。これは正の値なので、 $(2, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(2, \infty)$ で増加

ステップ 8

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。このときの変曲点は $(2, - 88)$ です。

$(2, - 88)$

ステップ 9

微分積分 例

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